レビチビタ記号とは \begin{eqnarray} \varep_{ijk} = \begin{cases} 1 & (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\ -1 & (i,j,k)=(2,1,3),(1,3,2),(3,2,1) \\ 0 & (i,j,k)=(それ以外の組み合わせ) \end{cases} \end{eqnarray} を満たす記号である。
今回は煩雑な外積の計算をスマートにできるレビチビタ記号について基本事項をまとめました。
外積はレビチビタ記号を用いて \begin{equation} (\bs{a} \times \bs{b})_{i}=\sum_{jk} \varep_{ijk} a_{j} b_{k} \end{equation} でかける。
レビチビタ記号を使えば外積も一行で表せます。スマートですね。これを使えば角運動量も \begin{equation} \bs{L}=\sum_{jk} \varep_{ijk} x_{j} p_{k} \end{equation} のようにシンプルに書けます。
反対称性 \begin{eqnarray} \label{antisymmetric} \varep_{ijk}=-\varep_{jik} \\ \label{antisymmetric2} \varep_{ijk}=-\varep_{ikj} \end{eqnarray} が成り立つ。
反対称性とは添え字が(一度)入れ替わると符号が反転する性質です。二回入れ替わると符号は 元に戻ります。
添え字に被りがあると0 \begin{equation} \label{samenum} \varep_{iik}=\varep_{ijj}=0 \end{equation}
これは(\ref{antisymmetric},\ref{antisymmetric2})より、例えば\(\varep_{iik}=-\varep_{iik}\)になるので 0だと分かります。最初の場合分けのうち、(それ以外の場合)は数字被りのパターンを指します。
レビチビタ記号の積の和について \begin{equation} \label{formula1} \sum_{i} \varep_{ijk} \varep_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} \end{equation} が成り立つ。ただし、右辺の\(\delta_{jl}\)などはクロネッカーのデルタ。
ベクトル解析で頻出の公式です。レビチビタ記号の計算では大体これを使います。
添え字が被ると0になるという性質((\ref{samenum})式)を使って可能な形を絞っていきます。
まず、添え字に入る数字は\(1～3\)までの三つしかないから、 \(j,k,l,m\)の四つの添え字に入る数字を全て違う数字にすることは 不可能である。すると、どれかの添え字の数字が必ず被ることになる。
ここで、\(j=k\)だったり、\(l=m\)だと左辺はレビチビタの性質より0になる。 逆に、0にならないのは、\(j=l\)かつ\(k=m\)か、\(j=m\)かつ\(k=l\)の場合である。 (今あげた組み合わせ以外にも、\(j=l\)かつ\(k\)と\(m\)が 異なるような場合なども考えられそうだが、\(j,k,m\)の三つの数字のうち必ずどれかが\(i\)と被るのでやはり0になる。)
よって、可能性としては \begin{equation} \sum_{i} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ilm} =C_{1} \delta_{jl} \delta_{km}+C_{2}\delta_{jm}\delta_{kl} \tag{17} \end{equation} の形に限られる。ただし、\(C_{1}\)、\(C_{2}\)は定数。
ここで、\(j=l=k=m\)の時、左辺がレビチビタの性質より0になることを踏まえると、\(C_{1}=-C_{2}\)だと分かる。 後は、具体的に\(j=l=2\)、\(k=m=3\)を入れてやると、左辺は \begin{eqnarray} \sum_{i} \varepsilon_{i23} \varepsilon_{i23} &=& \varepsilon_{123} \varepsilon_{123} \\ &=&1 \end{eqnarray} より、右辺も\(j=l=2\)、\(k=m=3\)で計算すると、\(C_{1}=1\)が得られ、証明ができた。
この公式を起点に様々な公式が導出できます。
レビチビタ記号の積の和について \begin{equation} \sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijm}=2 \delta_{km} \end{equation} が成り立つ。
(\ref{formula1})式について、\(j=l\)の場合を考えて、\(j\)で和を取れば導ける。 \begin{eqnarray} \sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijm} &=& \sum_{j} (\delta_{km} -\delta_{jm}\delta_{kj}) \\ &=&3 \delta_{km} -\delta_{km} \\ &=&2 \delta_{km} \end{eqnarray} \(\delta_{km}\)は\(i\)に依らないため、 \begin{equation} \sum_{i=1}^{3} \delta_{km} =\delta_{km} \sum_{i=1}^{3} 1=3 \delta_{km} \end{equation} に注意。