単振動

証明

ある任意の関数\(f(t)\)を用意して、 \begin{equation} \label{arbitraryfunc} x(t)=f(t)e^{i\omega t} \end{equation} と置く。すると、\(x(t)\)もまた任意の関数になる。

(参考：任意関数に見えない人は\(f(t)\)を任意性をつかって \(f(t)=\frac{h(t)}{e^{i\omega t}}\)(ただし、\(h(t)\)は任意関数)と置きなおせば\(x(t)=h(t)\)となり、 もし\(h(t)\)に\(log(t)\)の掛け算とか、\(\sqrt{t}\)の足し算とかがあれば、\(x(t)\)もそのような答えを含むと分かる。)

これを(\ref{harmonicoscillator})式に代入して、解の形がどうなるか探る。 (このように既に分かっている解の形を起点に一般解の形を洗い出す方法を 定数変化法と呼ぶ。心持ちとしては、流石に\(e^{i\omega t}\)は解になっているのだから、 そこまで一般解の形はかけ離れていないだろうという打算で仮定した感じ。)

代入して計算すると、 \begin{eqnarray} &m&\frac{d^2}{dt^2}(f(t)e^{i\omega t})=-kf(t)e^{i\omega t} \\ &m&\frac{d}{dt}(f'(t)e^{i\omega t}+i\omega f(t)e^{i\omega t}) \nonumber \\ & \ &=-kf(t)e^{i\omega t} (\because 積の微分公式) \\ &m& \rule{0pt}{4ex}(f''(t)e^{i\omega t}+2i\omega f(t)'e^{i\omega t}-\omega^2 f(t)e^{i\omega t}) \nonumber \\ & \ &=-kf(t)e^{i\omega t} \end{eqnarray} まで変形できる。

さて、\(e^{i\omega t}\neq 0\)より、両辺割ると、 \begin{equation} m(f''(t)+2i\omega f(t)'-\omega^2 f(t))=-kf(t) \end{equation} さらに、\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)だったから、 \begin{equation} f''(t)+2i\omega f(t)'-\omega^2 f(t)=-\omega^2 f(t) \end{equation} ゆえに、 \begin{equation} f''(t)+2i\omega f'(t)=0 \end{equation} となるが、ここで、\(f'(t)=F(t)\)とおくと、 \begin{equation} F'(t)+2i\omega F(t)=0 \end{equation} のように一階微分の方程式に帰着できる。

\(\omega \neq 0\)より\(F(t)\)は \begin{equation} F(t)=C_{0}e^{-2i\omega t} \end{equation} となる。(ただし、\(C_{0}\):複素定数)

さて、\(f'(t)=F(t)\)とおいたのだったから、両辺を積分すれば \begin{equation} f(t)=\frac{C_{0}}{-2i\omega}e^{-2i\omega t}+C_{1} \end{equation} の形にかける。(ただし、\(C_{1}\)：複素定数である。)

あとは\(C_{2}=\frac{C_{1}}{-2i\omega}\)と置くと、 \begin{equation} f(t)=C_{2}e^{-2i\omega t}+C_{1} \tag{12} \end{equation} とかける。最後にこの結果を(\ref{arbitraryfunc})式に代入すれば、 確かに、一般解が(\ref{generalsolution})式になっていることが確認できた。

計算

計算するのは \begin{equation} x(t)=Re[C_{1}e^{i\omega t}+C_{2}e^{-i\omega t}] \end{equation} である。

オイラーの公式を使うと、 \begin{eqnarray} x(t)&=&Re[C_{1}e^{i\omega t}+C_{2}e^{-i\omega t}] \nonumber \\ &=&Re[(C_{1} +C_{2}) \cos \omega t \nonumber \\ & \ &+i(C_{1} -C_{2}) \sin \omega t ] \end{eqnarray} となり、ここで\(C=C_{1}+C_{2}\)なる複素定数:\(C\)に加えて、 \(C'=i(C_{1}-C_{2})\)なる複素定数:\(C'\)を定義してやると、 \begin{eqnarray} & \ &Re[(C_{1} +C_{2}) \cos \omega t \nonumber \\ & \quad &+i(C_{1}-C_{2}) \sin \omega t ] \nonumber \\ &=&Re[C\cos \omega t +C'\sin \omega t] \nonumber \\ &=&Re[C]\cos \omega t +Re[C']\sin \omega t \nonumber \\ &=&A \sin (\omega t +\alpha ) \ (\because 三角関数の合成) \end{eqnarray} (\(A= \sqrt{Re[C]^2+Re[C']^2} ,\tan \alpha =\frac{Re[C]}{Re[C']}\)と置いた)となってよく見る三角関数の解になる。

説明

力が位置\(x\)に依存する場合の運動方程式 \begin{equation} m\frac{d^2 x}{dt^2}(t)=F(x) \end{equation} について、\(F(a)=0\)なる点\(a\)の周りで右辺をテイラーの展開すると、 近似的に \begin{equation} \label{equeq} m\frac{d^2 x}{dt^2}(t)=F'(a)(x-a) \end{equation} と表せる。特に\(F'(a)<0\)の場合、\(F'(a)=-k \ (k > 0)\)、\(X=x-a\)と置くと(\ref{equeq})式は \begin{equation} \label{harmonicoscillator2} m\frac{d^2 X}{dt^2}(t)=-kX(t) \end{equation} のようになり、(ただし、\(a\)が定数より\(\frac{d^2 x}{dt^2}=\frac{d^2 X}{dt^2}\)を使った) (\ref{harmonicoscillator})式の形に近似できる。