与えられた経路に沿って行う積分を線積分と呼ぶ。その表式は スカラーかベクトルかで異なり、特に スカラー関数\(f(\bs{r})\)について、以下の積分 \begin{equation} \label{slineint} I_{f}= \int_{C} f(\bs{r}) ds \end{equation} をスカラー関数の線積分と呼ぶ。ここに\(C\)は 積分する経路を表し、\(ds\)は線素と呼ばれる積分要素で その定義は \begin{equation} ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \end{equation} である。(3次元デカルト座標の場合)
線積分はベクトル解析で必須の計算です。ベクトル関数の線積分については こちらからどうぞ。スカラーの線積分について簡単にまとめました。
具体例その1：
経路\(C\)の長さ\(L\)は以下の線積分
\begin{equation}
L= \int_{C} ds =\int_{C} \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}
\end{equation}
で求められる。
具体例その2：
山の高さについて、地面に\(xy\)平面を張ると、その高さ\(x,y\)に依存し、
\(z(x,y)\)のように書ける。すると、山の体積は\(V=\int z(x,y) dxdy\)で求められるが、一方で
\(xy\)平面に垂直な平面で山を切った時、その断面積は線積分
\begin{equation}
S= \int_{C} z(x,y) ds
\end{equation}
で求められる。ここに\(ds\)は二次元の線素で
\begin{equation}
ds=\sqrt{dx^2+dy^2}
\end{equation}
であり、経路\(C\)は切った断面と地面の交わる線。
具体例その3：
ベクトルの線積分
\begin{equation}
\label{vlineint}
I_{A}= \int_{C} \bs{A}(\bs{r}) \cdot d\bs{r}
\end{equation}
について、内積を\(\bs{A}(\bs{r}) \cdot d\bs{r}= |\bs{A}|\cos\theta|d\bs{r}|\)
と変形すると\(|d\bs{r}|=|dx^2+dy^2+dz^2|=ds\)より
\begin{equation}
I_{A}= \int_{C} |\bs{A}(\bs{r})| \cos \theta ds
\end{equation}
のようにスカラーの線積分の形へ帰着できる。
(\ref{slineint})式は区分求積法を使って \begin{equation} \int_{C}f(\bs{r}) ds = \lim_{\Delta s_{i} \to 0}\sum_{i=1}^{\infty} f(\bs{r}_{i}) \Delta s_{i} \end{equation} とも表せる。ただし、\(\Delta s_{i}\)は \begin{equation} \Delta s_{i}=\sqrt{\Delta x_{i}^2+\Delta y_{i}^2+\Delta z_{i}^2} \end{equation} を表す。
はじめは経路や線素など聞きなれない言葉が出てきて戸惑うかもしれませんが、 区分求積法に直すと、単に関数と空間上の微小な距離をかけて足し合わせるという、普通の 積分と同じようなことをしています。
普通の積分と異なる点は、座標軸上を積分するのではなく、空間上を線素が走って 積分が行われる点です。
線積分は媒介変数表示によって計算が可能。
スカラーの線積分にせよ、ベクトルの線積分にせよ、基本線積分は 媒介変数表示しなければ計算ができないので注意が必要です。では、 具体例とともにスカラーの線積分の計算方法を見ていきましょう。
一般に、経路\(C\)の媒介変数表示は２次元の場合、\(x=x(t)\)、\(y=y(t)\) の形で与えられる。このもとで線素\(ds\)は \begin{eqnarray} ds&=&\sqrt{dx^2(t)+dy^2(t)} \nonumber \\ &=& \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \end{eqnarray} となるので、線積分は以下のように媒介変数表示で 計算ができる。 \begin{equation} \label{paradisplay} \int_{C} f(\bs{r}) ds = \int_{t_{i}}^{t_{f}} f(\bs{r}(t)) \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \end{equation} ただし、\(t_{i},t_{f}\)は経路の始点と終点に 対応する\(t\)の値。
３次元の場合も同様に媒介変数表示で計算ができる。
スカラーの線積分の計算方法です。これだけでは分かりづらいと思うので 具体例を挙げます。いずれの例題についても、基本的な方針は以下の通りです。
(ステップ1)経路\(C\)を媒介変数表示で表す。
(ステップ2)線素\(ds\)を媒介変数\(t\)で表す。
(ステップ3)(\ref{paradisplay})式で線積分を媒介変数\(t\)の積分へ帰着し、実行する。
経路\(C\)を\(x\)軸に沿った直線で、その長さが\(a\)の時、 \begin{equation} I_{1}= \int_{C} ds \end{equation} を計算したい。
まず、ステップ1として経路\(C\)を媒介変数表示で表す。 今回は経路\(C\)は\(x\)軸上の直線なので、\(v\)を適当な定数として \begin{eqnarray} x=vt \quad (0 \leq t \leq \frac{a}{v}) \\ y=0 \quad (0 \leq t \leq \frac{a}{v}) \end{eqnarray} と表せる。(最終的な結果は\(v\)に依存しないので単に\(v=1\)として\(x=t\)と表してもよい。) 後でステップ3で使うので、\(t\)の定義域も忘れずに調べておく。
続いてステップ2であるが、ステップ1の結果より線素は \begin{eqnarray} ds &=& \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \nonumber \\ &=& v dt \end{eqnarray} である。あとは、ステップ3として (\ref{paradisplay})式を使えばよい。実際にやってみると \begin{eqnarray} \int_{C} f(\bs{r}) ds = \int_{0}^{\frac{a}{v}} v dt =a \end{eqnarray} となり、以上より \(\int_{C} ds=a\) が得られた。
経路\(C\)を\(x^2+y^2=a^2\)の円を一周する経路 として、以下の線積分を実行したい。
\begin{equation} I_{2}= \int_{C} ds \end{equation}まず、ステップ1として経路\(C\)を媒介変数表示で表す。 今回は経路\(C\)は半径が\(a\)の円一周なので、\(\omega\)を適当な定数として \begin{eqnarray} x=a \cos \omega t \quad (0 \leq t \leq \frac{2 \pi}{\omega}) \\ y=a \sin \omega t \quad (0 \leq t \leq \frac{2 \pi}{\omega}) \end{eqnarray} と表示できる。(最終的な結果は \(\omega\)に依存しないので、 単に\(\omega=1\)と選んで\(x=a\cos t,y=a \sin t\)と表してもよい。) 後でステップ3で使うので、\(t\)の定義域も忘れずに調べておく。
続いてステップ2であるが、ステップ1の結果より線素は \begin{eqnarray} ds&=& \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \nonumber \\ &=& \sqrt{a^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t} dt \nonumber \\ &=& a \omega dt \end{eqnarray} のようになる。あとはステップ3として (\ref{paradisplay})式を使えばよい。実際にやってみると \begin{eqnarray} L&=& \int_{C} ds \nonumber \\ &=& \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} a \omega dt \nonumber \\ &=& 2 \pi a \end{eqnarray} となり、以上より \(\int_{C} ds=2 \pi a\) が得られた。
経路\(C\)が放物線の一部\(y=\frac{1}{2}x^2 \ (-1 \leq x \leq 1)\)の時 以下の線積分 \begin{equation} I_{3}= \int_{C} \frac{1}{x^2+1} ds \end{equation} を計算したい。
まず、ステップ1として経路\(C\)を媒介変数表示で表す。 今回は経路\(C\)が放物線の一部なので、媒介変数表示すると、 \begin{eqnarray} x=t \quad (-1 \leq t \leq 1) \\ y=\frac{1}{2}t^2 \quad (-1 \leq t \leq 1) \end{eqnarray} と表示できる。 後でステップ3で使うので、\(t\)の定義域も忘れずに調べておく。
続いてステップ2であるが、ステップ1の結果より線素は \begin{eqnarray} ds &=& \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \nonumber \\ &=& \sqrt{1+t^2} dt \end{eqnarray} になる。あとはステップ3として (\ref{paradisplay})式を使えばよい。実際にやってみると \begin{eqnarray} I_{3}&=& \int_{C} \frac{1}{x^2+1} ds \nonumber \\ &=& \int_{-1}^{1} \frac{1}{t^2+1} \sqrt{1+t^2} dt \nonumber \\ &=& \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} dt \nonumber \\ &=& \left[ \log(t+\sqrt{t^2+1}) \right]_{-1}^{1} \nonumber \\ &=& \log(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}) \end{eqnarray} となって積分が \(\int_{C} \frac{1}{x^2+1} ds=\log(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1})\)のように求まった。ただし、途中で 積分公式 \begin{eqnarray} & \ &\int \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}} dt \nonumber \\ & \ & = \log(t+\sqrt{t^2+a^2}) + C \nonumber \\ \end{eqnarray} を使った。