偏微分

偏微分

多変数関数で、ある文字以外の文字を定数だと思って微分する操作を偏微分と呼ぶ。

大学では高校とは違い、多変数関数を多く扱います。多変数関数を微分するうえで必要な偏微分に ついての知識を簡単にまとめました。

ちなみに、普通の微分は\(\diff{f}{x}\)と書きましたが、偏微分は別の記号を使って\(\pdiff{f}{x}\)のように書きます。 他にも\(\partial_{x} f\)や、\(f_{x}\)とも書いたりしますが、全部同じ意味です。

具体例(レベル1)

例えば、\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)の場合、 \begin{eqnarray} \pdiff{f}{x}&=&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \pdiff{f}{y}&=&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray} であり、\(g(s,t)=te^{-st}\)の時、 \begin{eqnarray} \pdiff{g}{s}&=&-t^2 e^{-st} \\ \pdiff{g}{t}&=&(1-st)e^{-st} \end{eqnarray} のようになります。

厳密な定義(レベル1)

偏微分

二変数関数\(f(x,y)\)に対し、 \begin{equation} \pdiff{f}{x}(x,y):=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} \end{equation} と偏微分は定義される。

偏微分は二変数より多くの変数を抱える多変数関数についても同様に定義されます。また、今は簡単のため 、スカラー関数\(f(x,y)\)を例にとっていますが、例えベクトル関数\(\bs{V}(x,y)\)でも要領は同じです。 (ベクトルの微分について詳しくはこちらを参照。)

微分するうえでの注意(レベル1)

当たり前のことですが、定数は微分すると0になります。そして、関数\(f(x)\)に\(x=a\)を 代入した値、\(f(a)\)は\(x\)によらない定数です。この二つの事実から、 \begin{equation} \label{const} \diff{f(a)}{x}=0 \end{equation} です。

しかし一方で、導関数\(f'(x)=\diff{f(x)}{x}\)に\(x=a\)を代入した値は必ずしも 0ではなく、 \begin{equation} \label{derivative} \diff{f(a)}{x}\neq 0 \end{equation} です。(\ref{const})式と同じ記号が使われていますが、左辺の意味が全く違うことに注意してください。

教科書などで関数の微分が出てきた時、それが(\ref{const})式と(\ref{derivative})式のどちらに意味で使われているのか 考えて読むようにしましょう。(ただし普通は、 \(\diff{f(a)}{x}\)は後者((\ref{derivative})式)の意味で使われます。)

ただ、微分する前に代入したのか微分した後に代入したのかでは大違いなのですが、 記号は混用されているという現状があります。 一応、紛らわしい場合には、(\ref{derivative})式が微分を実行したのちに\(a\)という値を代入していることを強調するために、 \begin{equation} f'(a)=\left.\diff{f}{x} \right|_{x=a} \end{equation} (右辺の縦線は演算の最後に代入を表す記号)とかく方法があり、これが混乱しない確実な書き方です。