頻出なベクトルの微分公式について基本事項を整理します。
より高度な公式については
ガウスの定理,
ストークスの定理
などを参照してください。
内積や外積の微分は積の微分公式と同じように計算ができます。
内積・外積の微分はそれぞれ \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\bs{a} \cdot \bs{b})=\left(\frac{d \bs{a}}{dt} \right) \cdot \bs{b}+\bs{a} \cdot \left(\frac{d \bs{b}}{dt}\right) \\ \frac{d}{dt}(\bs{a} \times \bs{b})=\left(\frac{d \bs{a}}{dt} \right) \times \bs{b}+\bs{a} \times \left(\frac{d \bs{b}}{dt}\right) \end{eqnarray} のように計算ができる。
成分ごとに計算すればすぐに求められます。まず、内積については \begin{equation} \bs{a} \cdot \bs{b}=\sum_{i} a_{i} b_{i} \end{equation} より、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\sum_{i} a_{i} b_{i})&= \sum_{i} \left( \frac{d a_{i}}{dt} b_{i}+a_{i} \frac{d b_{i}}{dt} \right) \nonumber \\ &=\left(\frac{d \bs{a}}{dt} \right) \cdot \bs{b}+\bs{a} \cdot \left(\frac{d \bs{b}}{dt}\right) \end{eqnarray} で、外積についても \begin{equation} (\bs{a} \times \bs{b})_{i}=\sum_{jk} \varep_{ijk} a_{j} b_{k} \end{equation} を使って同様です。
ベクトルのノルムの微分は \begin{equation} \frac{d}{dt} |\bs{x}(t)|=\frac{\bs{x} \cdot \bs{v}}{|\bs{x}|} \end{equation} で与えられる。ただし\(\bs{v}=\dot{x}\)
計算で間違うことの多いノルムの微分です。 \(\frac{d |\bs{x}|}{dt}(t) \neq |\bs{v}|\)なので注意しましょう。
勝手なイメージではなく、合成関数の微分を使って堅実に計算すれば確認できます。ノルムの定義から、 \begin{equation} |\bs{x}(t)|:=\sqrt{\bs{x} \cdot \bs{x}} \end{equation} なので、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} |\bs{x}(t)|&=\frac{1}{2|\bs{x}(t)|} \frac{d \bs{x} \cdot \bs{x}}{dt} \nonumber \\ &=\frac{\bs{x} \cdot \bs{v}}{|\bs{x}|} \end{eqnarray} となります。
他のパターンとしては\(\bs{x}=(x,y,z)^{t}\)として \begin{equation} \frac{d}{d x} |\bs{x}|=\frac{x}{|\bs{x}|} \end{equation} もあります。