適当な関数\(f(x)\)に対し、 \begin{equation} \label{delta} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a)dx=f(a) \end{equation} を満たすような\(\delta(x)\)をデルタ関数と呼ぶ。
デルタ関数の公式のうち、使う頻度の高い基本的な公式とその証明をまとめました。
デルタ関数の不定積分や、合成関数のデルタ関数などは標準編にまとめてあります。
デルタ関数の定義や、性質をまとめて見たい人はデルタ関数とその性質からどうぞ。
\(\delta(x)\)は偶関数の性質を持つ。即ち引き数\(x\)の反転に対し \begin{equation} \delta(x)= \delta(-x) \end{equation} である。
デルタ関数のグラフから何となく想像できますが、デルタ関数は偶関数のような性質を持っています。 この性質より、奇関数との積の積分は\(0\)になります。
デルタ関数の定義式から出発して置換積分を使います。デルタ関数の公式の多くは この方法で示すことができます。
デルタ関数の定義式 \begin{equation} \label{delta2} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)dx=f(0) \end{equation} について、これは適当な\(f(x)\)で成り立つので、 当然\(f(-x)\)についても \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(-x) \delta(x)dx=f(0) \end{equation} が成り立つ。ここで\(t=-x\)へ置換積分する。\(t\)の定義域が\(x\) とは反転していることに注意して \begin{equation} \int_{\infty}^{-\infty} f(t) \delta(-t) (-d t)=f(0) \end{equation} 最後に積分変数\(t\)を\(x\)で置き直すと \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(-x)dx=f(0) \end{equation} (\ref{delta2})式と合わせて \begin{eqnarray} & & \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)dx \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(-x)dx \end{eqnarray} これは積分を略記すると \begin{equation} \delta(x)= \delta(-x) \end{equation} を表す。
\(a\)を\(0\)ではない実数として、デルタ関数について以下が成り立つ。 \begin{equation} \label{atimesdelta} \delta(ax)= {1 \over |a|} \delta(x) \end{equation}
比較的よく使うデルタ関数の公式です。置換積分によって示すことができます。
まず\(a > 0\)の場合を考えて、その後\(a < 0\)の場合を考えてみることにします。
デルタ関数の定義式(\ref{delta2})は適当な\(f(x)\)で成り立つのだから、 \(f(ax)\)についても \begin{equation} \label{adelta} \int_{-\infty}^{\infty} f(ax) \delta(x)dx=f(0) \end{equation} が成り立つ。
\(a > 0\)の時、(\ref{delta2})式を\(t={x \over a}\)で置換積分すると \begin{equation} \label{adelta2} \int_{-\infty}^{\infty} f(at) \delta(at) a dt=f(0) \end{equation} が成り立つ。(\ref{adelta})式と(\ref{adelta2})式を見比べて \begin{equation} \delta(ax)= {1 \over a} \delta(x) \end{equation} を得る。
一方、\(a < 0\)の場合も同様に(\ref{delta2})式を\(t={x \over a}\)で置換積分する。 ただし今回は\(a\)が負なので、\(t\)の定義域が\(x\)とは反転している ことに注意して \begin{equation} \int_{\infty}^{-\infty} f(at) \delta(at) (-|a| dt)=f(0) \end{equation} これはつまり \begin{equation} \label{adelta3} \int_{-\infty}^{\infty} f(ax) \delta(ax) |a| dx=f(0) \end{equation} (\ref{adelta})式と(\ref{adelta3})式を見比べて \begin{equation} \delta(ax)= {1 \over |a|} \delta(x) \end{equation} と分かる。以上より、\(a > 0\)と\(a < 0\)の場合について \begin{equation} \delta(ax)= {1 \over |a|} \delta(x) \end{equation} が言えた。
デルタ関数は発散するか\(0\)しかないので、\({1 \over |a|}\)だけスケールが変わっても 無意味なように思えるかもしれません。このような係数がつく理由は「デルタ関数が積分して\(1\)になる」という性質のためです。 積分要素が\(dx \to d(|a|x)=|a| dx\)だけ変わった時、その変化を打ち消すように \(\delta(x) \to \delta(|a|x)={1 \over |a|} \delta(x)\)だけ変化します。
関数\(f(x)\)とデルタ関数\(\delta(x)\)の積について以下が成り立つ。 \begin{equation} f(x) \delta(x-y)= f(y) \delta (x-y) \end{equation} またデルタ関数同士の積についても同様に \begin{equation} \delta(x) \delta(x-y)= \delta(y) \delta (x-y) \end{equation} が成り立つ。
デルタ関数でよく使う変形です。一つ目の式はデルタ関数の定義(\ref{delta})式 及び\(\int \delta(x) dx=1\)より、 \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-y)dx &=& f(y) \\ f(a) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-y)dx \ &=& f(y) \end{eqnarray} がそれぞれ成り立ち両者の左辺を見比べることで導けます。
二つ目の式は\(f(x)=\delta(x)\)として選ぶと導けます。発想としては デルタ関数はピーク以外\(0\)なので、ピークが重なるところ以外は\(0\)になるといった感覚です。
デルタ関数の微分について、以下が成り立つ。 \begin{equation} \label{derdelta} f(x)\frac{d}{dx} \delta(x)=-\delta (x) f'(x) \end{equation} ここに、\(f'(x)\)は\(f(x)\)の導関数。
デルタ関数にも微分を定義することができます。前にマイナスがついていることに注意してください。 この符号は証明に部分積分を用いるためつくものです。
以下のような積分を考える。 \begin{equation} I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta'(x) dx \end{equation} ただし、\(\delta'(x)\)はデルタ関数の微分。さて、\(I\)を部分積分を使って計算すると \begin{eqnarray} I&=&\Bigl[ f(x) \delta(x) \Bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f'(x) \delta(x) dx \nonumber \\ &=& - \int_{-\infty}^{\infty} f'(x) \delta(x) dx \end{eqnarray} となる。一つ目のイコールの第一項について、\(\delta(x)\)は\(x=0\)でしか 値を持たないので\(0\)である。
以上より \begin{equation} f(x)\frac{d}{dx} \delta(x)=-\delta (x) f'(x) \tag{\ref{derdelta}} \end{equation} が言えた。
この公式はピークが\(x=a\)のデルタ関数に対しても \begin{equation} f(x)\frac{d}{dx} \delta(x-a)=-\delta (x-a) f'(x) \end{equation} のように成り立ちます。また、デルタ関数の微分も普通の微分と同じ性質を持ち、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(f(x) \delta(x))&=&f'(x)\delta(x)+f(x) \delta'(x) \\ \frac{d}{dx} \delta(g(x)) &=& \left. g'(x)\frac{d}{dy} \delta(y) \right|_{y=g(x)} \end{eqnarray} のように積の微分公式や合成関数の微分公式が使えます。ちなみに、(\ref{derdelta})式 より積の微分公式の右辺は\(0\)になります。
二階微分以降についても部分積分を用いて以下のように計算ができます。
デルタ関数の微分について、以下が成り立つ。 \begin{equation} f(x)\frac{d^2}{dx^2} \delta(x)=\delta (x) f''(x) \end{equation} ここに、\(f''(x)\)は\(f(x)\)の二階導関数。
二回部分積分を行って示すため、符号がプラスにもどっていますね。
また、これら公式を使えば、デルタ関数のテイラー展開を形式的に定義でき、 例えば\(\delta(x+a)\)を \(a\)が微小と思って展開すると \begin{eqnarray} f(x)\delta(x+a)&=&f(x)\Bigl\{\delta(x)+a\frac{d}{dx}\delta(x)+ \frac{1}{2!}a^2\frac{d^2}{dx^2}\delta(x) + \cdots \Bigr\} \nonumber \\ &=& \Bigl\{f(x)-\frac{d f(x)}{dx}a+ \frac{1}{2!}a^2\frac{d^2 f(x)}{dx^2}+ \cdots \Bigr\}\delta(x) \nonumber \\ &=& \Bigl\{f(0)-f'(0)a+\frac{1}{2!}f''(0)a^2+ \cdots \Bigr\}\delta(x) \end{eqnarray} のように変形できます。ちなみに、最終行右辺の中括弧の中身は\(f(-a)\)のテイラー展開になっているので ちゃんとデルタ関数のテイラー展開が機能していることがみてとれます。
デルタ関数のテイラー展開は物理ではそこそこ使います。特に、デルタ関数の引数が複雑だったり、多変数の時は 特に有効です。