以下の形の微分方程式をポアソン方程式と呼ぶ。
\begin{eqnarray}
\label{Poisson}
\nabla^2 \phi(\bs{r})=-s(\bs{r})
\end{eqnarray}
ただし、\(\nabla^2=\nabla \cdot \nabla\)であり
\(s(\bs{r})\)は\(\phi(\bs{r})\)ではない関数。
(また、\(s(\bs{r})=0\)の場合の方程式を特に
ラプラス方程式と呼ぶ。)
主に電磁気でよく見かける微分方程式です。\(s(\bs{r})\)にマイナスがついているのは大人の事情です。 ナブラ:\(\nabla\)など略記を使わずに書くと \begin{eqnarray} \Bigl( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \Bigr) \phi(x,y,z)=-s(x,y,z) \end{eqnarray} であって、二階の偏微分方程式ということになります。物理では実用上3次元で考えますが、その他の次元へ一般化可能です。
ここでは主にポアソン方程式の普遍的な性質など についてまとめます。具体的な計算などは静電ポテンシャルの計算の記事などからどうぞ。
ちなみにですが、\(\Delta=\nabla^2\)という記号を導入して \begin{eqnarray} \Delta \phi(\bs{r})=-s(\bs{r}) \end{eqnarray} とかく場合もあります。\(\Delta\)をラプラシアンと呼びます。詳しくは→ラプラシアン
静電場の基本法則
\begin{eqnarray}
\label{Gauss}
\nabla \cdot \bs{E}(\bs{r})&=&\frac{\rho(\bs{r})}{\varep_{0}} \\
\label{static}
\nabla \times \bs{E}(\bs{r})&=&0
\end{eqnarray}
について、(\ref{static})式より
\begin{equation}
\label{potential}
\bs{E}(\bs{r})=-\nabla \phi(\bs{r})
\end{equation}
を満たす\(\phi(\bs{r})\)の存在が言えるが、これを(\ref{Gauss})式に代入すると
\begin{eqnarray}
\nabla^2 \phi(\bs{r})=-\frac{\rho(\bs{r})}{\varep_{0}}
\end{eqnarray}
を得る。これはポアソン方程式の一般形(\ref{Poisson})式
において\(s(\bs{r})=\frac{\rho(\bs{r})}{\varep_{0}}\)とした場合に対応。
静電場について詳しくは→こちらから
重力場のポテンシャル\(\varphi(\bs{r})\)は質点一個がある場合 \begin{equation} \varphi(\bs{r})=\frac{-GM}{r} \end{equation} を満たすが、静電場/点電荷の場合の式 \begin{equation} \phi(\bs{r})=\frac{1}{4 \pi \varep_{0}}\frac{Q}{r} \end{equation} との類似性から\(\varphi(\bs{r})\)は以下のポアソン方程式 \begin{equation} \nabla^2 \varphi(\bs{r})=4\pi G \rho(\bs{r}) \end{equation} を満たす。(ただし、\(\rho(\bs{r})\)は質量の密度)
重力場のポアソン方程式についてもう少し詳しくは→こちらから
\(\mathrm{source}\)項がある波動方程式 \begin{equation} \label{waveeq} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi(\bs{r},t)-\nabla^2 \psi(\bs{r},t)=s(\bs{r,t}) \end{equation} は、定常状態(\(s(\bs{r},t)\)と\(\psi(\bs{r},t)\)が時間\(t\)に依らない安定 な場合 \begin{equation} \nabla^2 \psi(\bs{r})=-s(\bs{r}) \end{equation} となってポアソン方程式に帰着される。
有名な例として、電荷がある場合の波動方程式は(\ref{waveeq})式で表されますが、 系が時間に対して変化しない特別な場合に(\ref{waveeq})式はポアソン方程式になります。 ポアソン方程式で\(s(\bs{r})\)にマイナスがつけているのはそういう理由です。
ポアソン方程式 \begin{eqnarray} \nabla^2 \phi(\bs{r})=-s(\bs{r}) \tag{\ref{Poisson}} \end{eqnarray} について、これは右辺の\(s(\bs{r})\)によって左辺のポテンシャル\(\phi(\bs{r})\) (とそれに付随する場)が定まることを示している。 つまり、\(s(\bs{r})\)は場\(\bs{E}(\bs{r})=-\nabla \phi\)を生成する源を表す。
ポアソン方程式の物理的な解釈です。物理の方程式は右から左へ読むと意味が分かりやすいことがよくあります。
例えば運動方程式
\begin{eqnarray}
\frac{d^2}{dt^2}\bs{x}(t)=\bs{F}(t)
\end{eqnarray}
も同じで、これは力\(\bs{F}\)によって位置\(\bs{x}\)が定まる、つまり\(\bs{F}\)によって
物体の運動量\(\bs{p}(t)=m\frac{d x}{dt}\)が生成されることを表しています。ポアソン方程式との類似性は\(\phi(\bs{r}) \leftrightarrow \bs{x}(t),\nabla^2 \leftrightarrow \frac{d^2}{dt^2}
,-s(\bs{r}) \leftrightarrow \bs{F}(t),\bs{E}(\bs{r}) \leftrightarrow \bs{p}(t)\)の対応によって理解できますね。
ちなみに、場の源になる項なので、\(s(\bs{r})\)を\(\mathrm{source}\)項と呼んだりもします。
ポアソン方程式をはじめ、空間の微分方程式を解いて解を求めるためには、考える領域の表面(境界)での\(\phi(\bs{r})\)の 値などの条件が必要。この条件を境界条件と呼ぶ。
さて、運動方程式では、初期条件(ある時刻\(t\)の時に\(\bs{x}(t)\)はどこか)を定めることで一般解から物理的な解を出すことができました。 ポアソン方程式は空間の微分なので、同様に境界条件(例えば、ある座標\(\bs{r}\)の地点でポテンシャル\(\phi(\bs{r})\)はどんな値か)を課して 解を求めます。(境界条件に関して後で記事を書く予定)
そして、ポアソン方程式には後述するように境界条件を課すと解が定数分のズレをのぞいて一意に定まるという性質があります。 これは、ポテンシャルの基準をどこにとるかのズレに対応していると解釈することができます。
ポアソン方程式は境界条件を一つに定めると定数分のズレをのぞいて 一意に解が求まる。
ポアソン方程式の重要な性質です。境界条件の意味については上のギモンで述べている通りです。 この一意性によって、境界条件を一つ決めると、解\(\phi(\bs{r})\)を求めたとき、この\(\phi\)から\(s(\bs{r})\)に対応する 場\(\bs{E}(\bs{r})=-\nabla \phi\)を一意に定めることができます。
ここでは境界条件として、素直に\(\phi(\bs{r})\)の境界での値を 与える条件(ディリクレ境界条件)を採用した場合と、境界における勾配の値に関する条件\(\bs{n}(\bs{r}) \cdot \nabla \phi(\bs{r})\) (ただし、\(\bs{n}\)は領域の法線単位ベクトル)を採用した場合(ノイマン境界条件)をそれぞれ考えます。どちらを採用しても 結果として同じ一意性が示せます。
証明の方針ですが、(定数のズレをのぞいた)一意性の証明のためには、異なる解\(\phi_{1}(\bs{r})\)、\(\phi_{2}(\bs{r})\) を用意してこの二つの差が定数であることを言えればよいわけです。
ポアソン方程式 \begin{eqnarray} \nabla^2 \phi(\bs{r})=-s(\bs{r}) \tag{\ref{Poisson}} \end{eqnarray} の異なる解\(\phi_{1}(\bs{r})\)、\(\phi_{2}(\bs{r})\)を用意して両者の差\(\delta \phi(\bs{r})=\phi_{1}(\bs{r})-\phi_{2}(\bs{r})\) を考える。この\(\delta \phi(\bs{r})\)は \begin{eqnarray} & \ & \nabla^2 \delta \phi(\bs{r}) \nonumber \\ &=& \nabla^2 \bigl\{ \phi_{1}(\bs{r})-\phi_{2}(\bs{r}) \bigr\} \nonumber \\ &=& -s(\bs{r})+s(\bs{r}) =0 \end{eqnarray} よりラプラス方程式\(\nabla^2 \delta \phi(\bs{r})=0\)を満たす。さて、ここで突然だが、 以下の積分 \begin{equation} \label{integral} I=\int_{V}(\nabla \delta \phi(\bs{r}))^2 dV \end{equation} を考える。これは二乗の積分なので、必ず\(I\)は正であり、\(\delta \phi(\bs{r})\)が 定数、つまり\(\nabla \delta \phi(\bs{r})=0\)である場合のみ、\(I=0\)になる。 今回の証明で示したいのは\(\delta \phi(\bs{r})\)が定数であることなので、要は\(I=0\)が言えればよい。
さて、(\ref{integral})式の被積分関数を少し変形すると \begin{eqnarray} & & (\nabla \delta \phi(\bs{r}))^2 \nonumber \\ &=& \nabla \bigl\{ \delta \phi(\bs{r}) \nabla \delta \phi(\bs{r}) \bigr\}-\delta \phi(\bs{r}) \nabla^2 \delta \phi(\bs{r}) \nonumber \\ &=& \nabla \bigl\{ \delta \phi(\bs{r}) \nabla \delta \phi(\bs{r}) \bigr\} \end{eqnarray} となる。ただし、途中で\(\delta \phi(\bs{r})\)がラプラス方程式\(\nabla^2 \delta \phi(\bs{r})=0\)を満たすことを使った。 よってガウスの定理より \begin{eqnarray} I&=&\int_{V} \nabla \bigl\{ \delta \phi(\bs{r}) \nabla \delta \phi(\bs{r}) \bigr\} dV \nonumber \\ &=& \int_{S} \delta \phi(\bs{r}) \bigl(\nabla \delta \phi(\bs{r})\bigr) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \nonumber \\ &=& \int_{S} \delta \phi(\bs{r}) \ \bs{n}(\bs{r}) \cdot \bigl( \nabla \delta \phi(\bs{r})\bigr) dS \nonumber \\ \end{eqnarray} となる。ただし、\(S\)は領域\(V\)の表面(境界)。さて、\(\phi_{1}(\bs{r})\)、\(\phi_{2}(\bs{r})\)は異なる解ではあるが、同じ境界条件 を満たす。つまり、境界上では同じ値\(\phi_{1}(\bs{r})=\phi_{2}(\bs{r})\)であるか、または勾配の法線成分が等しい。 \(\bs{n} \cdot \nabla \phi_{1}(\bs{r})=\bs{n} \cdot \nabla \phi_{2}(\bs{r})\) (これは採用した境界条件によってどちらかが満たされる)
つまり、\(\delta \phi(\bs{r})\)は境界\(S\)において\(\delta \phi(\bs{r})=0\)または\(\bs{n} \cdot \nabla \delta \phi(\bs{r})=0\) を満たす。ゆえに、上記の積分\(I\)はいずれにせよ\(0\)であって、ゆえに\(\delta \phi(\bs{r})\)は定数。 \(\delta \phi(\bs{r})\)は二つの異なる解の差だったのだから、以上より、解が定数をのぞいて一意に定まることが言えた。
境界条件として、\(\phi(\bs{r}) \tolim{|\bs{r}|}{\infty} 0\)(無限遠で\(0\))を課した時、 ポアソン方程式(\ref{Poisson})式の解は以下で与えられる。 \begin{equation} \label{Poissonsolution} \phi(\bs{r})=\frac{1}{4 \pi} \int \frac{1}{|\bs{r}-\bs{r}'|} s(\bs{r}') dV' \end{equation} ただし、積分変数には\(\bs{r}'\)のようにプライムをつけて区別した。 体積要素については\(dV'=dx'dy'dz'\)である。
無限遠で\(0\)という境界条件のもとでのポアソン方程式の解です。上のギモンで述べた通り、解は一意に定まるので 他に独立な解はありません。ここではこの表式の導出をします。
(\ref{Poissonsolution})式は以下の2ステップで導出できる。
(ステップ1)以下の関係式を満たす\(G(\bs{r})\)を見つける。 \begin{equation} \label{green} \nabla^2 G(\bs{r}-\bs{R})=-\delta^3(\bs{r}-\bs{R}) \end{equation} (ただし\(\delta^3(\bs{r}-\bs{R})=\delta(x-X)\delta(y-Y)\delta(z-Z)\)はデルタ関数) この\(G(\bs{r})\)をグリーン関数と呼ぶ。
(ステップ2)ステップ1で見つけた\(G(\bs{r})\)を使って \begin{equation} \phi(\bs{r})=\int G(\bs{r}-\bs{r}')s(\bs{r}') dV' \end{equation} を用意するとこれはグリーン関数の定義よりポアソン方程式(\ref{Poisson})式 の解になっている。
グリーン関数を用いた解法です。この方法は\(\mathrm{source}\)項のある波動方程式の解法としても使えるのでとても便利です。 ちなみに、\(\nabla^2\)は\(\bs{r}\)にかかる微分であって\(\bs{R}\)や\(\bs{r}'\) は微分されないことに注意してください。
3次元では、デルタ関数について公式
\begin{equation}
\label{delta}
\delta^3(\bs{r}-\bs{a})=-\nabla^2 \frac{1}{4 \pi|\bs{r}-\bs{a}|}
\end{equation}
が成り立つので
(証明は→デルタ関数の有名表式、またはグリーン関数)
3次元の場合、
\begin{equation}
\label{3dimgreen}
G(\bs{r}-\bs{R})=\frac{1}{4 \pi|\bs{r}-\bs{R}|}
\end{equation}
であることが分かります。これを使ってステップ2を考えると、ポアソン方程式の解が3次元では
\begin{equation}
\phi(\bs{r})=\frac{1}{4 \pi}\int \frac{1}{|\bs{r}-\bs{r}'|} s(\bs{r}') dV' \tag{\ref{Poissonsolution}}
\end{equation}
となることが分かりました。グリーン関数の導出についてはグリーン関数の記事からどうぞ。
逆に、この(\ref{Poissonsolution})式が(\ref{Poisson})式の解になっていることは(\ref{delta})式
を使えば確認できます。