時間依存しないシュレディンガー方程式

導出

まず、シュレディンガー方程式($\ref{Schrodinger}$)式の解$\psi(x,t)$が $$\begin{equation} \label{separation} \psi(x,t) = f(t)\phi(x) \end{equation}$$ のように書ける特別な場合を考える。このような解を変数分離解と呼ぶ。 後述するように、この形の解は、系が安定な状態(定常状態)にある場合に相当する。

($\ref{separation}$)式をシュレディンガー方程式($\ref{Schrodinger}$)式に代入する。 $f(t)$は空間微分$\frac{\partial^2}{\partial x^2}$を貫通でき、$\phi(x)$は時間微分 $\frac{\partial}{\partial t}$を貫通できるため $$\begin{equation} i \hbar \phi(x) \frac{\partial}{\partial t} f(t)=f(t)\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \right)\phi (x) \end{equation}$$ のように変形できて、さらに両辺を$f(t)\phi(x)$で割ると、 $$\begin{equation} i \hbar \frac{1}{f(t)} \frac{d}{dt} f(t)=\frac{1}{\phi(x)}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2}+V(x) \right)\phi (x) \end{equation}$$ の形に帰着できる。(ただし、1変数関数の偏微分は微分に書き換えた。)

今、各辺に注目すると、左辺は$t$のみの関数、右辺は$x$のみの 関数になっている。よって、両辺が矛盾しないためには、各辺が$t$及び$x$に依存 しない定数である必要がある。この定数を$E$と置くと、 $$\begin{eqnarray} &&i \hbar \frac{1}{f(t)} \frac{d}{dt} f(t) = E \\ &&\frac{1}{\phi(x)}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2}+V(x) \right)\phi (x) =E \end{eqnarray}$$ のように微分方程式を時間微分のみの微分方程式と、空間微分のみの微分方程式に分割できる。 このテクニックを変数分離と呼ぶ。

空間微分のみを含む方程式について、$\phi(x)$を両辺にかければ 速やかに $$\begin{equation} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2}+V(x) \right) \phi (x)=E \phi (x) \tag{\ref{time-independent}} \end{equation}$$ が成り立つことが分かる。

ちなみに、時間微分のみを含む部分については $$\begin{equation} \label{time-dependent} i \hbar \frac{d}{dt} f(t) = E f(t) \end{equation}$$ に帰着される。

解説

変数分離したシュレディンガー方程式のうち、時間微分のみを含む方程式 $$\begin{equation} i \hbar \frac{d}{dt} f(t) = E f(t) \tag{\ref{time-dependent}} \end{equation}$$ は一階の微分方程式だから、簡単に解の形を予想できる。
実際、($\ref{time-dependent}$)式 の解は $$\begin{equation} \label{sol} f(t) = e^{-i \omega t} \end{equation}$$ (ただし$\omega$は適当な振動数)の形である。代入すると $$\begin{equation} \label{rel} \hbar \omega = E \end{equation}$$ が成り立つとき、($\ref{sol}$)式は($\ref{time-dependent}$)式の解になっていることがわかる。

この($\ref{rel}$)式は物質波におけるエネルギーと振動数の 関係式にほかならず、$E$が変数分離解$\psi(x,t) = f(t)\phi(x)$のエネルギーに 対応していることがわかる。

また、$E$は($\ref{time-independent}$)式の導出でも述べたように、 $x$および$t$に依存しないただの定数だったので、 $$\begin{equation} \frac{d E}{dt} = 0 \tag{\ref{conservation}} \end{equation}$$ が成り立ち、エネルギーが確かに保存していることが確認できた。

証明

変数分離したシュレディンガー方程式のうち、時間微分のみを含む方程式 $$\begin{equation} i \hbar \frac{d}{dt} f(t) = E f(t) \tag{\ref{time-dependent}} \end{equation}$$ の一般解は$C$を定数として $$\begin{equation} f(t) = C e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \end{equation}$$ である。また、$\phi(x)$を($\ref{time-independent}$)式の解とする。 定数係数は規格化条件によって決まるので、これを$N$としておく。このもとで 変数分離解は $$\begin{equation} \psi(x,t) = N \phi(x) e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \end{equation}$$ とあらわせる。これの絶対値の二乗をとると明らかなように、 $$\begin{equation} \label{absq} |\psi(x,t)|^2 = N^2 |\phi(x)|^2 \end{equation}$$ であるため、$|\psi(x,t)|^2$は時間によらず、 $$\begin{equation} \frac{d }{dt} |\psi(x,t)|^2= 0 \tag{\ref{conservation2}} \end{equation}$$