電場と磁場について(特に電場と磁場が時間で変化する場合)、両者の間に \begin{equation} \label{diffform} \nabla \times \bs{E}(\bs{r},t)= - \pdiff{\bs{B}}{t}(\bs{r},t) \end{equation} が成り立つ。これを 微分型(微分形)のファラデーの電磁誘導の法則と呼ぶ。
ファラデーの電磁誘導の法則は、電場と磁場を結び付ける重要な法則です。また、式中の\(\nabla \times \bs{E}(\bs{r})\)は\(\bs{E}(\bs{r})\)の回転です。 (回転について未習の人はベクトルの回転からどうぞ) この法則について簡単にまとめました。
電場と磁場について、両者の間に \begin{eqnarray} & \ &\oint_{C} \bs{E}(\bs{r},t) \cdot d \bs{r} \nonumber \\ \label{intform} & \ & = - \frac{d}{dt} \int_{S} \bs{B}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \end{eqnarray} が成り立つ。これを 積分型(積分形)のファラデーの電磁誘導の法則と呼ぶ。
あまりこの呼び方はされませんが、他の法則同様、ファラデーの法則にも積分形があり、 それは(\ref{intform})式の形で書けます。
基本的に計算ではこちらの積分形を使います。微分形の意義や必要性に ついてはこちらの記事を参照。
ファラデーの電磁誘導の法則(\ref{intform})式の意味は レンツの法則の拡張である。
コイルにかかる磁束\(\Phi\)を変化させると、そのコイルに誘導起電力\(V\) がかかることが知られています。これをレンツの法則と呼び、 数式では \begin{equation} \label{lenzlaw} V= -\frac{d \Phi}{dt} \end{equation} と表せます。後述するように、(\ref{lenzlaw})式と (\ref{intform})式は数学的には同値です。
しかしながら、レンツの法則は、コイルに関して (\ref{lenzlaw})式が成り立つという法則に対し、ファラデーの電磁誘導の法則 とは、例えコイルがなくとも、電場と磁場の間には(\ref{intform})式 が成り立つという主張で、レンツの法則の拡張になっています。
ここでは高校物理で学んだレンツの法則(\ref{lenzlaw})式から 出発し、導出が簡単な積分形(\ref{intform})式を先に導いた後、 ストークスの定理から微分形(\ref{diffform})式を導きます。
まず、レンツの法則 \begin{equation} V= -\frac{d \Phi}{dt} \tag{\ref{lenzlaw}} \end{equation} を電場と磁場を使って書き換える。
誘導起電力\(V\)と磁束\(\Phi\)は\(\bs{E}(\bs{r},t)\) 及び\(\bs{B}(\bs{r},t)\)を使ってそれぞれ \begin{eqnarray} V&=&\oint_{C} \bs{E}(\bs{r},t) \cdot d \bs{r} \\ \Phi&=&\int_{S} \bs{B}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \end{eqnarray} と書ける。ただし、\(C\)はコイル上を一周する経路であり \(S\)はコイルに囲われた平面である。 (誘導起電力について詳しくは下のギモン参照。)
これらを代入すると、結果は \begin{eqnarray} & \ &\oint_{C} \bs{E}(\bs{r},t) \cdot d \bs{r} \nonumber \\ \label{intform0} & \ &= - \frac{d}{dt} \int_{S} \bs{B}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \end{eqnarray} のようになる。最後にこの式について、コイルについてだけでなく、 コイルのない空間でも成り立つと仮定する。すると、(\ref{intform0})式 はそのままァラデーの電磁誘導の法則の積分形を表し、これにより導出が完了した。
続いて微分形を導く。 積分形(\ref{intform})式について左辺にストークスの定理を適用すると、 \begin{eqnarray} & \ & \oint_{C} \bs{E}(\bs{r},t) \cdot d \bs{r} \nonumber \\ & \ &=\int_{S} \nabla \times \bs{E}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \end{eqnarray} であり、右辺については \begin{eqnarray} & \ &- \frac{d}{dt} \int_{S} \bs{B}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \nonumber \\ & \ & =\int_{S} \pdiff{\bs{B}}{t}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \end{eqnarray} となる。(\(\bs{r}\)微分を行わないことを明示するため、積分の中に入れた時間微分が 偏微分に変わっていることに注意)
以上より、両辺を合わせて、 \begin{eqnarray} & \ & \int_{S} \nabla \times \bs{E}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \nonumber \\ & \ & =\int_{S} \pdiff{\bs{B}}{t}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \end{eqnarray} であるから、これにより微分形のファラデーの電磁誘導の法則 \begin{equation} \nabla \times \bs{E}(\bs{r},t)= - \pdiff{\bs{B}}{t}(\bs{r},t) \tag{\ref{diffform}} \end{equation} を得る。
電流が流れる時、そこには(電池などの)電圧を生じさせる原因が存在する。 この電圧を生み出す働きを起電力と呼ぶ。
電圧があれば電流が流れるのは周知だと思いますが、この電圧を生じさせる 働きを起電力と呼びます。その大きさは生じさせた電圧によって定義されるため、 普通の電圧と同じく起電力の単位は[V]です。
要は、物体を正や負に帯電させる力のことを起電力とよんでいるわけです。 両者の違いは以下のようにまとめることができます。
電圧が単に二つの地点での電位差なのに対し、起電力は どの程度電位差を生み出したかを表す量
単位も同じで紛らわしい両者ですが、どのくらい帯電しているのかを 表す量が電圧、どのくらい帯電させたのかを表すのが起電力ということです。 具体例もみてみましょう。
起電力\(3V\)の電池は\(3V\)の電圧を生み出す。
磁束の変化によって、コイルに\(3V\)の電圧が生じた。ゆえに磁束の変化が生み出した誘導起電力は \(3V\)。