減衰振動

減衰振動

単振動する物体が抵抗を受ける時、その運動は以下の微分方程式 \begin{equation} \label{dampedvibration} m\frac{d^2 x}{dt^2}(t)=-kx(t)- \kappa \frac{dx(t)}{dt} \end{equation} に従う。(ただし、\(k>0\)で、\(\kappa>0\))

今回は、前回の方程式に減衰項\(- \kappa \frac{dx(t)}{dt}\)を加えた場合について扱います。 減衰と聞くと分かりずらいですが、空気抵抗だと思ってもらえばいいです。

前回と違う点は\(k\)、\(m\)、\(\kappa\) の大小で運動の振る舞いが大きく変わる点です。

ここで、この運動方程式を少し変形して\(\gamma := \frac{\kappa}{2m}\)、 \(\omega _{0}:=\sqrt{\frac{k}{m}}\)と置いてやると、 \begin{equation} \label{diffeq} \frac{d^2 x}{dt^2}(t)+ 2\gamma \frac{d x}{dt}(t)+\omega _{0} ^2 x(t) =0 \end{equation} みたいに変形できますが、この形の微分方程式を特に 定数係数の二階線形同次微分方程式と呼びます。 この形の微分方程式について詳しくは→ 定数係数二階線形微分方程式(同次)

特殊解(解の具体例)(レベル1)

前回と違って初見では見つけるのは難しいですが、例えば、 \begin{equation} x(t)=C e^{\lambda} \end{equation} (ただし、\(C\)は定数で、 \(\lambda= -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -\omega _{0} ^2}\))は (\ref{diffeq})式の解になっています。

なぜなら、代入してやると、 \begin{equation} (\lambda ^2 +2\gamma \lambda +\omega _{0} ^2 )e^{\lambda t}=0 \end{equation} ここで\(e^{\lambda t} \neq 0\)より、両辺を\(e^{\lambda t}\)で割ると \begin{equation} \lambda ^2 +2\gamma \lambda +\omega _{0} ^2 =0 \end{equation} になりますが、\(\lambda= -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -\omega _{0} ^2}\) はこの式を満たすので、確かに(\ref{diffeq})式の解になっていると分かります。

上記の具体例はいくつかある解のうちの一つにすぎません。このような解を特殊解と呼ぶのでした。 (特殊解/一般解の意味についてはこちらから。)
その他の様々な解(とそれに対応する質点の運動)を考えるには以下のような一般解を分析する必要があります。

一般解/物理的意味(レベル1)

一般解

減衰項を含む1次元単振動の運動方程式 \begin{equation} m\frac{d^2 x}{dt^2}(t)=-kx(t)- \kappa \frac{dx(t)}{dt} \tag{\ref{dampedvibration}} \end{equation} の一般解は\(\gamma := \frac{\kappa}{2m}\)と\(\omega _{0}:=\sqrt{\frac{k}{m}}\) の大小で3パラーンに分けられる。 \( |\gamma^2 -\omega _{0} ^2|= \Omega ^2 \)として、

i)\(\gamma<\omega _{0}\)の時 \begin{equation} \label{solution1} x(t)=e^{-\gamma t}(Ae^{ i\Omega t}+Be^{- i\Omega t}) \end{equation} ii)\(\gamma>\omega _{0}\)の時 \begin{equation} \label{solution2} x(t)=e^{-\gamma t}(Ae^{ \Omega t}+Be^{- \Omega t}) \end{equation} iii)\(\gamma=\omega _{0}\)の時 \begin{equation} \label{solution3} x(t)=e^{-\gamma t}(A+Bt) \end{equation} ただし、\(A\)と\(B\)は定数。

前回とは違って、一般解が3パターンあります。 (\ref{diffeq})式の一般解を求めると、上のように3つの答えが得られるわけです。

導出は少し長くなるので、気になる人は 定数係数二階線形微分方程式(同次) の記事へ飛んでください。ここでは、それぞれの解に対応する、物理的な挙動を 考えます。

i)\(\gamma<\omega _{0}\)の時

抵抗の強さを表す\(\kappa\)がそれほど大きくない場合 がこれにあたります。 この時の解は(\ref{solution1})式のように、\(e^{-\gamma t}\)の因子で減衰しながらも 振動数\(\Omega\)で振動する解です。抵抗がさほど強くないため、振動する元気があります。 このような運動を減衰振動と呼びます。

ii)\(\gamma>\omega _{0}\)の時

抵抗の強さが大きくなった場合の解です。抵抗が強いため、 振動がなくなっています。このような運動を過減衰と呼びます。

iii)\(\gamma=\omega _{0}\)の時

上記の二つの場合の境目です。この場合も、過減衰と同じように振動はせず、 速やかに\(x=0\)に落ち着きます。この場合を特に臨界減衰と呼びます。

身の回りの減衰振動(レベル1)

減衰振動の具体例は意外かもしれませんが身の回りに結構あります。

押しも引きも可能なドアがその一例です。このドアを開いたのち、手を離すと 勢いよく閉まるものの、勢い余って向こう側まで行ってしまうと思います。 しかし、真ん中の位置に引き戻す力が働いているので、また戻ってきます。 つまり、振動しているわけですが、永遠に揺れつづけることはなくて、いつかは閉じて止まります。 これは摩擦やらなんやらが働くためです。つまり、振幅がほっておくと0になるわけだから、 まさにこれは減衰振動というわけです。

あとは、自転車のサドルや、ソファも押し込んでから離すと振動しますが、ほっとくと静止するので 減衰振動になります。