2次元極座標の運動方程式は \begin{eqnarray} \label{EOM1} m (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)=F_{r} \\ \label{EOM2} m \frac{1}{r} \frac{d}{d t}(r^2 \dot{\theta} )=F_{\theta} \end{eqnarray} で書ける。ただし、\(F_{r}\)は\(F_{\theta}\)はそれぞれ 力の\(r\)成分と\(\theta\)成分
運動方程式 \begin{equation} \label{EOM} m \frac{d^2\bs{r}}{dt^2}=\bs{F}(\bs{r}) \end{equation} の極座標における成分表示です。 今回考えるのは2次元なので式は二つです。 2次元の運動方程式ですが、万有引力などの運動はこれで書けます。
例えば、等速円運動(\(\ddot{\theta}=0\)かつ\(\dot{r}=0\))の時、(\ref{EOM1})式 は、 \begin{equation} -m r \omega^2 =F_{r} \end{equation} (ただし、\(\omega = \dot{\theta}\)と置いた)とかける。 左辺は、高校物理における等速円運動の公式 \(a= r \omega^2\)に一致する。
特に、万有引力の場合、力は\(r\)成分しかない(この ような力を中心力と呼ぶ)ので運動方程式は \begin{equation} m r \omega^2 = - \frac{GMm}{r^2} \end{equation} のようになる。
今回は基底を使って計算する方法と、 成分を使って計算する方法の 二種類のやり方で導出してみます。
先に、基底の微分についておさえておきます。
極座標の基底ベクトルの微分は以下で与えられる \begin{eqnarray} \label{rbasis} \frac{d \bs{e}_{r}}{dt}&=& \dot{\theta} \bs{e}_{\theta} \\ \label{thetabasis} \frac{d \bs{e}_{\theta }}{dt}&=& - \dot{\theta} \bs{e}_{r} \end{eqnarray}
デカルト座標とは違い、 極座標では基底の微分が\(0\)にはなりません。 このことに注意して計算をする必要があります。 基底の微分の証明は→こちらから
(\ref{EOM})式を極座標で真面目に計算します。
まずは位置ベクトル\(\bs{r}=r \bs{e}_{r}\)の一階微分から計算する。 すると、(\ref{rbasis})式を使えば、 \begin{eqnarray} \frac{d \bs{r}}{dt}&=& \dot{r} \bs{e}_{r}+r \dot{\bs{e}_{r}} \nonumber \\ &=&\dot{r} \bs{e}_{r}+r \dot{\theta} \bs{e}_{\theta} \end{eqnarray} のようになる。
これをさらにもう一度微分する。 \begin{eqnarray} \frac{d^2 \bs{r}}{d^2 t}&=&\ddot{r} \bs{e}_{r}+\dot{r} \dot{\bs{e}}_{r} \nonumber \\ & \ &+\dot{r} \dot{\theta} \bs{e}_{\theta} +r \ddot{\theta} \bs{e}_{\theta} \nonumber \\ & \ &+r \dot{\theta} \dot{\bs{e}}_{\theta} \nonumber \\ &=&(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2) \bs{e}_{r} \nonumber \\ & \ &+(2r \dot{\theta}+ r \ddot{\theta})\bs{e}_{\theta} \end{eqnarray} より最後に \begin{equation} 2r \dot{\theta}+ r \ddot{\theta}= \frac{1}{r} \frac{d }{dt}(r^2 \dot{\theta}) \end{equation} なので、成分ごとにわけると (\ref{EOM1})式と(\ref{EOM2})式を得る。
まずはよく知られた\(\bs{r}\)の極座標表示から確認します。
位置ベクトルは\(r\)と\(\theta\)を用いて \begin{equation} \label{rdiff} \bs{r}= \left (\begin{array}{c} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{array} \right) \end{equation} と表せる。(ただし、基底はデカルト座標の基底)
この表示の重要なところは、変数は\(r\)と\(\theta\) のように極座標で書かれていますが、 基底がデカルト座標で張られているという ことです。詳しくは→ベクトルの極座標表示
デカルト座標の基底は微分しても\(0\)なので、 極座標の基底と違って、 このまま成分表示でも特に問題なく計算できます。
方針としては、(\ref{rdiff})式を成分表示のまま 真面目に微分していき、最後に基底をデカルト座標から 極座標に取り換えます。
計算を成分ごとに行うと以下の通り \begin{eqnarray} & \ &\frac{d^2}{dt^2} (r \cos \theta) \nonumber \\ &=& \frac{d}{dt} (\dot{r} \cos \theta - r \sin \theta \ \dot{\theta} ) \nonumber \\ &=& \ddot{r} \cos \theta -\dot{r} \sin \theta \ \dot{\theta} \nonumber \\ & \ &- \dot{r} \sin \theta \ \dot{\theta} - r \cos \theta \ \dot{\theta}^2 -r \sin \theta \ \ddot{\theta} \nonumber \\ &=&\ddot{r} \cos \theta - r \cos \theta \ \dot{\theta}^2 -r \sin \theta \ \ddot{\theta} \nonumber \\ & \ &- 2\dot{r} \sin \theta \ \dot{\theta} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} & \ &\frac{d^2}{dt^2} (r \sin \theta) \nonumber \\ &=& \frac{d}{dt} (\dot{r} \sin \theta + r \cos \theta \ \dot{\theta} ) \nonumber \\ &=& \ddot{r} \sin \theta +\dot{r} \cos \theta \ \dot{\theta} \nonumber \\ & \ &+\dot{r} \cos \theta \ \dot{\theta} - r \sin \theta \ \dot{\theta}^2 +r \cos \theta \ \ddot{\theta} \nonumber \\ &=&\ddot{r} \sin \theta - r \sin \theta \ \dot{\theta}^2 +r \cos \theta \ \ddot{\theta} \nonumber \\ & \ &+2\dot{r} \cos \theta \ \dot{\theta} \end{eqnarray}
ここまでの結果をまとめると \begin{eqnarray} \label{summary} \left (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \end{array} \right) = \left (\begin{array}{c} m (\ddot{r} \cos \theta - r \cos \theta \ \dot{\theta}^2 \\ \sin \theta \ \ddot{\theta}- 2\dot{r} \sin \theta \ \dot{\theta}) \\ \\ m (\ddot{r} \sin \theta - r \sin \theta \ \dot{\theta}^2 \\ +r \cos \theta \ \ddot{\theta}+2\dot{r} \cos \theta \ \dot{\theta}) \end{array} \right) \end{eqnarray} である。
以上の結果を極座標の基底での成分表示へ変換する。
今、\(r\)軸は\(x\)軸から角度\(\theta\)回転させた軸に対応し、\(\theta\)軸は
\(y\)軸を角度\(\theta\)回転させた軸に対応する。
詳しくは→ベクトルの極座標表示
ゆえに行列でかくと \begin{eqnarray} \left (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta& \cos \theta \end{pmatrix} \left (\begin{array}{c} F_{r} \\ F_{\theta} \end{array} \right) \end{eqnarray} であって、これを逆に解くと \begin{eqnarray} \left (\begin{array}{c} F_{r} \\ F_{\theta} \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta& \cos \theta \end{pmatrix} \left (\begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \end{array} \right) \end{eqnarray} を得る。右辺に(\ref{summary})式を代入して計算を続行する。
ここでは長くなるので\(r\)成分のみ具体的に計算を行う。 \begin{eqnarray} F_{r}&=&m(\ddot{r} \cos^2 \theta - r \cos^2 \theta \ \dot{\theta}^2 \nonumber \\ & \ &-r \sin \theta \cos \theta \ \ddot{\theta} - 2\dot{r} \sin \theta \cos \theta \ \dot{\theta}) \nonumber \\ &+&m(\ddot{r} \sin^2 \theta - r \sin^2 \theta \ \dot{\theta}^2 \nonumber \\ & \ &+r \sin \theta \cos \theta \ \ddot{\theta} +2\dot{r} \sin \theta \cos \theta \ \dot{\theta}) \nonumber \\ &=&m(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2) \end{eqnarray} より、(\ref{EOM1})式がいえた。同様の計算により (\ref{EOM2})式も示せる。
中心力の場合、力が\(r\)方向にしか成分を持たないため、 運動方程式を極座標表示しておくと、比較的式が簡単に解ける。
運動方程式の極座標表示は導出が面倒でしたが、その分利点もあります。
万有引力やクーロン力について、\(F_{\theta}=0\)です。
(このような力を中心力と呼びます)
この場合、デカルト座標で運動方程式を解くよりも、
極座標の方が簡単に微分方程式が計算できます。
中心力について詳しくは→中心力とその諸性質
例えば中心力の場合、運動方程式の\(\theta\)成分は \begin{equation} m \frac{1}{r} \frac{d}{d t}(r^2 \dot{\theta} )=0 \end{equation} になるので、すぐにこの式は解くことができ、 \(r^2 \dot{\theta}=(定数)\)という関係式が導けます。
また、中心力の下では 運動が2次元的(軌道が楕円や双曲線など 平面図形になるということ)になることが知られているので、 3次元の運動方程式を解かずとも、 2次元の運動方程式を考えるだけで、中心力の問題を楽に解くことができます。