スカラー三重積とベクトル三重積

証明

真面目に成分で計算する方法と、レビチビタ記号を使う方法の二つで証明します。 (レビチビタ記号について詳しくはこちらから)

(i)成分で計算する方法(レベル1)

\(\bs{A} \cdot (\bs{B} \times \bs{C})=\bs{B} \cdot (\bs{C} \times \bs{A})\)をまず示す。 左辺から計算すると、 \begin{eqnarray} \bs{B} \times \bs{C}=\left( \begin{array}{c} B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y} \\ B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z}\\ B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x} \end{array} \right) \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} \bs{A} \cdot (\bs{B} \times \bs{C})&=A_{x}(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y}) \nonumber \\ & \quad +A_{y}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z}) \nonumber \\ & \quad +A_{z}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}) \nonumber \\ &=B_{x}(C_{y}A_{z}-C_{z}A_{y}) \nonumber \\ & \quad +B_{y}(C_{z}A_{x}-C_{x}A_{z}) \nonumber \\ & \quad +B_{z}(C_{x}A_{y}-C_{y}A_{x}) \nonumber \\ &=\bs{B} \cdot (\bs{C} \times \bs{A}) \end{eqnarray} となり示せる。全く同様にして、 \(\bs{B} \cdot (\bs{C} \times \bs{A})=\bs{C} \cdot (\bs{A} \times \bs{B})\)も示すことができるので、 以上の二式より、(\ref{scalarproduct})が成り立つことが確認できた。

(ii)レビチビタ記号を使う方法(レベル2)

ベクトルの外積はレビチビタ記号を使って、 \begin{equation} [\bs{A} \times \bs{B}]_{i} = \sum_{jk} \varep_{ijk} A_{j}B{k} \end{equation} と書ける。以下、アインシュタインの規則を使って、和の記号を省略し \begin{equation} \label{outerproduct} [\bs{A} \times \bs{B}]_{i} = \varep_{ijk} A_{j}B{k} \end{equation} と書くことにする。すると、 \begin{eqnarray} \bs{A} \cdot (\bs{B} \times \bs{C})&=A_{i} [\bs{B} \times \bs{C}]_{i} \nonumber \\ &=A_{i} \varepsilon_{ijk} B_{j}C{k} \nonumber \\ &=B_{j} \varepsilon_{jki} C{k}A_{i} \nonumber \\ &=B_{i} \varepsilon_{ijk} C_{j}A_{k} \nonumber \\ &=\bs{B} \cdot (\bs{C} \times \bs{A}) \end{eqnarray} となって\(\bs{A} \cdot (\bs{B} \times \bs{C})=\bs{B} \cdot (\bs{C} \times \bs{A})\)が示せた。 \(\bs{B} \cdot (\bs{C} \times \bs{A})=\bs{C} \cdot (\bs{A} \times \bs{B})\)についても同様。 以上により、(\ref{scalarproduct})が成り立つ。

証明

まず、\((\bs{B} \times \bs{C})\)の大きさは\(\bs{B}\)と\(\bs{C}\)で構成される平行四辺形 (平行六面体の底面)の面積に等しく、\((\bs{B} \times \bs{C})\)の向きはその底面に垂直である。 そして \begin{equation} \label{volume} \bs{A} \cdot (\bs{B} \times \bs{C})=|\bs{B} \times \bs{C}||\bs{A}| \cos \theta \end{equation} であるが、\(|\bs{A}| \cos \theta\)は\(\bs{A}\)のうち\((\bs{B} \times \bs{C})\)の向き に平行な成分であるため、即ち平行六面体の高さを表す。よって、(\ref{volume}) の右辺は底面積と高さの積になっているため、\(\bs{A} \cdot (\bs{B} \times \bs{C})\)は 確かに平行六面体の体積に等しいことが分かった。

証明

真面目に成分で計算する方法と、レビチビタ記号を使う方法の二つで証明します。 (レビチビタ記号について詳しくはこちらから)

(i)成分で計算する方法(レベル1)

まずは、左辺の\(x\)成分を計算する。簡単のため、ひとまず\(\bs{D}=\bs{B} \times \bs{C}\)と置いておく。 すると成分を陽にかくと \begin{eqnarray} \bs{A} \times \bs{D}=\left( \begin{array}{c} A_{y}D_{z}-A_{z}D_{y} \\ A_{z}D_{x}-A_{x}D_{z}\\ A_{x}D_{y}-A_{y}D_{x} \end{array} \right) \end{eqnarray} である。よって、\(x\)成分は\([\bs{A} \times \bs{D}]_{x}=A_{y}D_{z}-A_{z}D_{y}\)である。あとは\(\bs{D}=\bs{B} \times \bs{C}\)だったので \(D_{z}\)や\(D_{y}\)に\(\bs{B} \times \bs{C}\)の\(z\)成分、\(y\)成分を代入して計算すると、 \begin{eqnarray} [\bs{A} \times \bs{D}]_{x}&=&A_{y}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}) \nonumber \\ & &\quad -A_{z}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z}) \nonumber \\ &=&(A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})B_{x} \nonumber \\ & &\quad -(A_{z}B_{z}+A_{y}B_{y})C_{x} \nonumber \\ &=&(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})B_{x} \nonumber \\ & &\quad -(A_{z}B_{z}+A_{y}B_{y}+A_{x}B_{x})C_{x} \nonumber \\ &=&(\bs{A} \cdot \bs{C}) B_{x}-(\bs{A} \cdot \bs{B})C_{x} \tag{7} \end{eqnarray} となって確かに成り立っていることが確認できる。ただし、途中、 第一項目で\(A_{x}B_{x}C_{x}\)を勝手に足した後、第二項目で同じ因子を引くことで式変形を行った。

他の成分についても全く同様。

(ii)レビチビタ記号を使う方法(レベル2)

レビチビタ記号を使って外積を \begin{equation} [\bs{A} \times \bs{B}]_{i} = \varep_{ijk} A_{j}B{k} \tag{\ref{outerproduct}} \end{equation} と書くことにする。すると、 \begin{eqnarray} [\bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})]_{i}&=&\varep_{ijk} A_{j} [\bs{B} \times \bs{C}]_{k} \nonumber \\ &=&\varep_{ijk} A_{j} \varep_{klm} B_{l}C_{m} \nonumber \\ &=&\varep_{ijk} \varep_{klm} A_{j} B_{l}C_{m} \nonumber\\ &=&(\delta_{il} \delta_{jm}- \delta_{im} \delta_{jl}) A_{j} B_{l}C_{m} \nonumber \\ &=&(A_{j} C_{j}) B_{i}-(A_{j}B_{j})C_{i} \nonumber \\ &=&(\bs{A} \cdot \bs{C}) \bs{B}-(\bs{A} \cdot \bs{B}) \bs{C} \end{eqnarray} となって証明は終わる。式変形の途中で、レビチビタ記号とクロネッカーのデルタに関する公式 \begin{equation} \label{Levi-Civitaformula} \varep_{ijk} \varep_{klm}=\delta_{il} \delta_{jm}- \delta_{im} \delta_{jl} \tag{23} \end{equation} を使用した。((\ref{Levi-Civitaformula})の証明はレビチビタ記号を参照。)

証明(おまけ)(レベル2)

まず、\(\bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})\) と\((\bs{B} \times \bs{C})\)の内積を取る。これはスカラー三重積の公式(式(\ref{scalarproduct})) より、 \begin{eqnarray} & &(\bs{B} \times \bs{C}) \cdot [\bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})] \nonumber \\ &=&\bs{A} \cdot [(\bs{B} \times \bs{C}) \times (\bs{B} \times \bs{C})] \nonumber \\ &=&0 \quad (\because 自分自身との外積は0) \end{eqnarray} となって0になる。\((\bs{B} \times \bs{C})\)との外積が0だったので、ベクトル「\(\bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})\)」 は\(\bs{B}\)と\(\bs{C}\)の張る平面上に存在し、ゆえに \begin{equation} \label{linearcomb} \bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})=\alpha \bs{B}-\beta \bs{C} \end{equation} と線形結合の形でかける。(ただし、\(\alpha\)や\(\beta\)は展開係数)

続いて\(\boldsymbol{A}\)との内積もとってみる。再びスカラー三重積の公式(式(\ref{scalarproduct}))により、 結果は \begin{eqnarray} \bs{A} \cdot [\bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})] &=&(\bs{B} \times \bs{C}) \cdot [\bs{A} \times \bs{A}] \nonumber \\ &=&0 \end{eqnarray} となってやはり0になる。この条件を式(\ref{linearcomb})の右辺にもに課す。 \begin{eqnarray} & &\bs{A} \cdot (\alpha \bs{B}-\beta \bs{C})=0 \nonumber \\ & \to & \alpha \bs{A} \cdot \bs{B}=\beta \bs{A} \cdot \bs{C} \nonumber \\ & \to &\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\bs{A} \cdot \bs{C}}{\bs{A} \cdot \bs{B}} \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} \bs{A} \times (\bs{B} \times \bs{C})&=&\gamma (\bs{A} \cdot \bs{C}) \bs{B} \\ &-& \gamma (\bs{A} \cdot \bs{B}) \bs{C} \end{eqnarray} まで変形できる。(ただし、\(\gamma\)は定数)

最後に両辺の大きさを計算して\(\gamma=1\)になることを示す。まず準備として\(\bs{A}\) を線形独立な三つのベクトル、\(\bs{B}\)、\(\bs{C}\)、\(\bs{B} \times \bs{C}\)を使って \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}=x \boldsymbol{B}+y \boldsymbol{C} +z (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) \tag{16} \end{eqnarray} をのように分解しておく。これを式(\ref{vectorproduct})に代入する。 \(x\)、\(y\)に比例する項に分けると \begin{eqnarray} \bs{B} \times (\bs{B} \times \bs{C})&=\gamma (\bs{B} \cdot \bs{C}) \bs{B} \nonumber \\ &-\gamma (\bs{B} \cdot \bs{B}) \bs{C} \end{eqnarray} 及び \begin{eqnarray} \bs{C} \times (\bs{B} \times \bs{C})&=\gamma (\bs{C} \cdot \bs{C}) \bs{B} \nonumber \\ &-\gamma (\bs{C} \cdot \bs{B}) \bs{C} \end{eqnarray} のように二つの式に帰着できる。それぞれについて両辺の大きさを取って比べると、 \(\gamma=1\)になることが確認できる。

\begin{eqnarray} \end{eqnarray}