電流密度

導出

電流とは単位時間あたりにある領域(例えば導線)の断面\(S\)を通過する電荷 の量なので、この定義を頼りに(\ref{micro2})式の導出を目指す。

電子の平均的な速度を\(\bs{v}_{d}\)と置く。(「平均の速度」の意味について詳しくは→ドリフト速度)
時刻\(t\)から\(t+\delta t\)の間に断面\(S\)を通過できるのは、 時刻\(t\)において、およそ\(|\bs{v}_{d}| \delta t\)だけ断面\(S\)より前に位置していた電子までである。 よって、\(\delta t\)の間に通過できる電子はおおよそ領域\(V=|\bs{v}_{d}| \delta t S\)の中に存在し、 これと電子の数密度\(n_{e}\)と掛けることで、断面\(S\)を通過できる電子の総数が \begin{equation} N_{e} \simeq n_{e}(\bs{r},t)|\bs{v}_{d}(\bs{r},t)| S \delta t \end{equation} のように書けると分かる。ちなみに、この表式が真に正しいのは\(S\)が平面かつ、\(\bs{v}_{d}\)と 垂直な場合のみである。一般にはそうであるとも限らないので \begin{equation} \Delta N_{e} = n_{e}(\bs{r},t) \bs{v}_{d}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) \Delta S \delta t \end{equation} の方が正確である。ただし、\(\Delta S\)は断面\(S\)の微小な一部分であり、\(\Delta N_{e}\) は\(\delta t\)の間に\(\Delta S\)を通過する電子の総数である。両辺\(\Delta S\)について和を取ると \begin{equation} N_{e} = \int_{S} n_{e}(\bs{r},t) \bs{v}_{d}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \delta t \end{equation} を得る。

さて、これに電子一個あたりの電荷\(e\) をかけて\(\delta t\)で割ったものこそが、単位時間あたりに断面\(S\)を通過する電荷、即ち電流である。 以上より、 \begin{equation} I=\int_{S} e n_{e}(\bs{r},t) \ \bs{v}_{d}(\bs{r},t) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \tag{\ref{micro2}} \end{equation} であって、(\ref{currentdens})式と比べることで \begin{eqnarray} \bs{j}(\bs{r},t)=e n_{e}(\bs{r},t) \ \bs{v}_{d}(\bs{r},t) \tag{\ref{micro}} \end{eqnarray} が導出できた。

確認

ここでは定常電流について、確かに定常電流に含まれる電荷密度が\(0\)であることを示します。
まず、オームの法則 \begin{equation} \bs{j}(\bs{r})=\sigma \bs{E}(\bs{r}) \end{equation} の両辺の発散を取ります。左辺は定常電流の保存則 \begin{eqnarray} \nabla \cdot \bs{j}(\bs{r})=0 \tag{\ref{currentconservation}} \end{eqnarray} より\(0\)になります。以上より \begin{eqnarray} \nabla \cdot \bs{E}(\bs{r})=0 \end{eqnarray} が得られますが、ガウスの法則 \begin{eqnarray} \nabla \cdot \bs{E}(\bs{r})={\rho(\bs{r}) \over \varep_{0}} \end{eqnarray} と見比べて、\(\rho(\bs{r})=0\)、つまり電流密度に含まれる電荷密度は\(0\)という 結果が得られます。