定常電流密度\(\bs{j}(\bs{r})\)、静電場\(\bs{E}(\bs{r})\)について以下が成り立つ。 \begin{equation} \label{Joule} \omega(\bs{r})=\bs{j}(\bs{r}) \cdot \bs{E}(\bs{r}) \end{equation} これを微分型(微分形)のジュールの法則と呼ぶ。 ただし\(\omega(\bs{r})\)は単位時間、単位体積あたりのジュール熱。
有名なジュールの法則です。よく知られているのは上記の微分形ではなく、下に示す 積分形だと思いますが、大学物理で使うのはこちらです。また、上述の定常電流や静電場とは、 時間で変化しない電流、電場のことです。 ジュールの法則について簡単にまとめました。
電圧が\(V\)の定常電流\(I\)が、単位時間あたりに消費する エネルギー\(W\)は \begin{equation} \label{intJoule} W=IV \end{equation} で表される。これを積分型(積分形)のジュールの法則と呼ぶ。
既に知っているとは思いますが、オームの法則\(V=RI\)を使えば(\ref{intJoule})式は \begin{equation} W=IV=IR^2={V^2 \over R} \end{equation} のように書き換えることができます。 また、ジュールの法則のこの表式は積分形です。実際、\(V\)や\(I\)は積分を使って書き換える ことができます。(詳しくは→電流密度、電圧の記事参照。)
\begin{eqnarray} \label{voltage} V&=&\int_{C} \bs{E}(\bs{r}) \cdot d \bs{l} \\ \label{current} I&=&\int_{S} \bs{j}(\bs{r}) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \\ \end{eqnarray}微分形と積分形は見た目が大きく異なりますが、両者は同じことを言っています。積分形から微分形への 導出は下のギモンを参考にしてください。微分形の意義や必要性に ついてはこちらの記事を参照。
ジュールの法則とは、電流を流すために必要なエネルギーを表す関係式のこと。
中学で学んだように、抵抗に逆らって電流を流すためにはエネルギーが必要です。 ジュールの法則では単位時間あたりに必要なエネルギーが電流と電圧(または抵抗) で表せることを述べています。(なぜ、単位時間あたりのエネルギーが電流と電圧との積で書けるのかは 次のギモン参照。)
このようにして消費されたエネルギーは抵抗との摩擦によって熱に変換されます。 この熱がよく知られたジュール熱というわけです。
ここでは、積分形をまず導出したあと、微分形を導きます。
電荷\(q\)がある点\(A\)から点\(B\)へ移った時の ポテンシャルエネルギーの変化\(\Delta U\)は点\(A,B\)の電位を それぞれ\(\phi_{A},\phi_{B}\)として、 \begin{equation} \Delta U = q(\phi_{A}-\phi_{B})=qV \end{equation} と書ける。さて、微小な時間\(\Delta t\)の間に 点\(A\)から点\(B\)へ移動した電荷を\(\Delta Q\)と置くことにしよう。 すると、当然 \begin{equation} \label{transition} \Delta U = V\Delta Q \end{equation} が成り立つ。一方、電流の定義から、 二点間を流れる電流は\(I={\Delta Q \over \Delta t}\)である。あとは 単位時間あたりのエネルギー変化\(W\)を\(W={\Delta U \over \Delta t}\) と定義して(\ref{transition})式に代入すれば、 \begin{equation} W = IV \tag{\ref{intJoule}} \end{equation} より、積分形のジュールの法則が得ることができた。
続いて、この積分形(\ref{intJoule})式から微分形(\ref{Joule})式を導く。
まず、単位体積あたりの\(W\)を\(w(\bs{r})\)と置く。
\begin{equation}
W = \int_{V} \omega(\bs{r}) dV
\end{equation}
ここで、積分領域が微小な体積\(\Delta V\)の場合を考える。
\(\Delta V\)の中では\(\omega\)はほとんど変化しないので、積分の外にだしてよく、
\begin{eqnarray}
& & \int_{\Delta V} \omega(\bs{r'}) dV \nonumber \\
&=&\omega(\bs{r}) \int_{\Delta V} dV \nonumber \\
&=& \omega(\bs{r}) \Delta V
\end{eqnarray}
となる。この操作について詳しくは→積分中のテイラー展開を参照。
(ただし、\(\Delta V\)の中心の座標を\(\bs{r}\)と置いた。
積分変数は\(\bs{r}'\)と置いて区別している。)
一方、電圧\(V\)、電流\(I\)についても同じように積分を用いて
\begin{eqnarray}
V&=&\int_{C} \bs{E}(\bs{r}) \cdot d \bs{l} \tag{\ref{voltage}} \\
I&=&\int_{S} \bs{j}(\bs{r}) \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS \tag{\ref{current}} \\
\end{eqnarray}
のように書けたことを思い出そう。今、電流密度\(\bs{j}\)に垂直な微小な平面を
\(\Delta S\)とし、平行かつ微小な直線の軌跡を\(\Delta l\)とする。このもとで\(V,I\)はそれぞれ
\begin{eqnarray}
& \ &\int_{\Delta S} \bs{j}(\bs{r'}) \cdot \bs{n}(\bs{r'}) dS \nonumber \\
&=&\bs{j}(\bs{r}) \cdot \bs{n}(\bs{r}) \int_{\Delta S} dS \nonumber \\
&=&|j(\bs{r})|\Delta S
\end{eqnarray}
(\(\bs{n}(\bs{r})\)は\(\Delta S\)に垂直、つまり\(\bs{j}(\bs{r})\)に平行な
単位ベクトルであることに注意。また、\(\Delta S\)の中心の座標を\(\bs{r}\)と置いた。
積分変数は\(\bs{r}'\)と置いて区別している。)
\begin{eqnarray}
& \ &\int_{\Delta l} \bs{E}(\bs{r}') \cdot d \bs{l} \nonumber \\
&=&\int_{\Delta l} \bs{E}(\bs{r}') \cdot \bs{t}(\bs{r}') d |\bs{l}| \nonumber \\
&=&\bs{E}(\bs{r}) \cdot \bs{t}(\bs{r}) \int_{\Delta l} d|\bs{l}| \nonumber \\
&=&\bs{E}(\bs{r}) \cdot \bs{t} \Delta l
\end{eqnarray}
(ただし、\(\bs{t}(\bs{r})\)は\(\Delta l\)に平行な、つまり\(\bs{j}(\bs{r})\)に平行な単位ベクトルで
\(d \bs{l}=\bs{t} d|\bs{l}|\)を満たす。
また、\(\Delta l\)の始点の座標を\(\bs{r}\)と置いた。積分変数は\(\bs{r}'\)と置いて区別している。)
を得る。
ここで、\(\bs{t}(\bs{r})\)は\(\bs{j}(\bs{r})\)に平行な単位ベクトルなので \begin{equation} \bs{t}(\bs{r})={\bs{j}(\bs{r}) \over |\bs{j}(\bs{r})|} \end{equation} が成り立つ。このことに注意して、以上の\(W,V,I\)の表式をジュールの法則の積分形(\ref{intJoule})式 に代入する。 \begin{eqnarray} \omega(\bs{r}) \Delta V&=&|j(\bs{r})|\Delta S \bs{E}(\bs{r}) \cdot {\bs{j}(\bs{r}) \over |\bs{j}(\bs{r})|} \Delta l \nonumber \\ &=& \bs{E}(\bs{r}) \cdot \bs{j}(\bs{r}) \Delta S \Delta l \end{eqnarray} さて、面\(\Delta S\)と直線\(\Delta l\)は直交しているという仮定を置いていたので \(\Delta V=\Delta l \Delta S\)が成り立つ。ゆえに、 \begin{equation} \omega(\bs{r})=\bs{j}(\bs{r}) \cdot \bs{E}(\bs{r}) \tag{\ref{Joule}} \end{equation} である。以上より、(\ref{Joule})式が示せた。