強制振動

導出

この特殊解が解であることは代入すれば確認できるため、ここでは どうやってこの解を見つけるのか解説します。

右辺に\(\cos \omega t\)なる因子があるから、解のうち一つくらいは \begin{equation} x(t)=A \cos (\omega t -\delta) \tag{\ref{specialsolution}} \end{equation} の形をとることが予想できる。これを(\ref{diffeq})式へ代入する。 (一般には\(\omega = \omega_{0}\)とは限らないことに注意。 ) \begin{eqnarray} \left(\frac{d^2}{dt^2}+ 2\gamma \frac{d}{dt}+\omega _{0} ^2 \right) &A& \cos (\omega t -\delta) \nonumber \\ &=&\frac{F}{m} \cos \omega t \end{eqnarray} 微分を実行すると \begin{eqnarray} \left(\right.&-& \left.\omega^2 +\omega _{0} ^2 \right) A \cos (\omega t -\delta) \nonumber \\ &-&2\gamma \omega A \sin (\omega t -\delta)=\frac{F}{m} \cos \omega t \end{eqnarray} となる。

式を整理するために、加法定理を使う。 \begin{eqnarray} &(&-\omega^2+\omega _{0} ^2)A(\cos \omega t \cos \delta +\sin \omega t \sin \delta) \nonumber \\ &-&2\gamma \omega A (\sin \omega t \cos \delta -\cos \omega t \sin \delta) \nonumber \\ &=&\frac{F}{m} \cos \omega t \tag{5} \end{eqnarray} 続いて\(\cos \omega t\)と\(\sin \omega t\)についてくくる。 \begin{eqnarray} [A\{(-\omega^2+\omega _{0} ^2)\cos \delta +2\gamma \omega \sin \delta \} -\frac{F}{m}] \cos \omega t \nonumber \\ \label{expansion} +A\{(-\omega^2+\omega _{0} ^2)\sin \delta -2\gamma \omega \cos \delta \} \sin \omega t=0 \end{eqnarray} ここで\(\cos \omega t\)と\(\sin \omega t\)にかかっている係数を\(C_{1}\)、\(C_{2}\)とおく即ち \begin{eqnarray} &C_{1}=[A\{(-\omega^2+\omega _{0} ^2)\cos \delta +2\gamma \omega \sin \delta \}-\frac{F}{m}] \\ &C_{2}=A\{(-\omega^2+\omega _{0} ^2)\sin \delta -2\gamma \omega \cos \delta \} \end{eqnarray} すると、三角関数の合成から(\ref{expansion})は \begin{equation} \sqrt{C_{1}^2+C_{2}^2} \sin (\omega t + \Theta)=0 \end{equation} のようにまとめられる。

あとはこれがあらゆる\(t\)で成り立つから、そのためには \begin{eqnarray} \begin{cases} C_{1}=0 \\ C_{2}=0 \end{cases} \end{eqnarray} つまり、 \begin{eqnarray} \label{cases} \begin{cases} [A\{(-\omega^2+\omega _{0} ^2)\cos \delta +2\gamma \omega \sin \delta \}-\frac{F}{m}]=0 \\ A\{(-\omega^2+\omega _{0} ^2)\sin \delta -2\gamma \omega \cos \delta \}=0 \end{cases} \end{eqnarray} が満たされれば(\ref{specialsolution})式は解になる。

得られた条件式から、\(A\)と\(\delta\)を具体的に計算していく。 (\ref{cases})式の二つ目の式について、 両辺\(A\)で割ってから移項すると、 \begin{eqnarray} (\omega _{0}^2-\omega^2)\sin \delta =2\gamma \omega \cos \delta \end{eqnarray} となり、ここから \begin{equation} \tan \delta=\frac{2\gamma \omega}{\omega _{0}^2-\omega^2} \tag{\ref{delta}} \end{equation} と\(\delta\)の条件が求まる。

一方、\(A\)については(\ref{cases})式の一つ目の式から、二つ目の式を使い \(\sin \delta\)を消去して、 \begin{equation} A(\omega _{0}^2-\omega^2)(1+\frac{(2\gamma \omega)^2}{(\omega _{0}^2-\omega^2)^2}) \cos \delta = \frac{F}{m} \tag{13} \end{equation} としたうえで、、 両辺を二乗した後、残った\( \cos^2 \delta\)を三角関数の公式 \begin{equation} 1+\tan^2 \delta=\frac{1}{\cos^2 \delta} \end{equation} 及び、(\ref{delta})式をつかって消去すると、 \begin{equation} A=\frac{F/m}{\sqrt{(\omega _{0}^2-\omega^2)^2+(2\gamma \omega)^2}} \tag{\ref{A}} \end{equation} のように\(A\)の条件式を得る。

計算

まず、微分方程式(\ref{diffeq})式の解のフーリエ変換を \begin{equation} x(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega) \exp[-i \Omega t] d \Omega \tag{\ref{Fourierx}} \end{equation} と置く。 また、(\ref{diffeq})式の右辺のフーリエ変換を \begin{equation} \label{Fouriereq} F\cos \omega t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathscr{F}(\Omega) \exp[-i \Omega t] d \Omega \end{equation} と書くことにする。これらの表式を使って方程式を計算していく。

早速(\ref{diffeq})式の両辺をフーリエ変換すると、 \begin{equation} -m \Omega^2 X(\Omega)=-k X(\Omega)+i \kappa X(\Omega)+\mathscr{F}(\Omega) \end{equation} のようになる。この方程式から\(X(\Omega)\)を求め、その後、 (\ref{Fourierx})式に戻して\(x(t)\)を求めるという方針で計算を進める。

さて、\(\mathscr{F}(\Omega)\)を計算しようとすると、以下の逆変換 \begin{equation} \mathscr{F}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F\cos \omega t \ \exp[-i \Omega t] dt \end{equation} のような積分が出てくるが、これは\(\cos\)の部分をオイラーの公式を使って、 \begin{equation} \cos \omega t=\frac{e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}}{2} \end{equation} と表してやると計算が上手くいく。具体的には \begin{eqnarray} \mathscr{F}(\omega) &=&\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F\frac{e^{i (\omega-\Omega) t}+e^{-i (\omega+\Omega) t}}{2} dt \nonumber \\ &=&\sqrt{\frac{\pi}{2}}F(\delta(\omega-\Omega)-\delta(\omega+\Omega)) \end{eqnarray} のようにデルタ関数がでてくる。この結果を(\ref{Fouriereq})式に代入して 、\(X(\Omega)\)を求めると、 \begin{equation} X(\Omega)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{F(\delta(\omega-\Omega)-\delta(\omega+\Omega))}{-m \Omega^2+i \kappa \omega +k} \end{equation} を得る。

あとはこれを(\ref{Fouriereq})式にもどして\(x(t)\)を 求める。デルタ関数があるので割と簡単に計算できて、 \begin{eqnarray} x(t)&=&\frac{F}{2} \left( \frac{e^{-i\omega t}}{-m \omega^2+i \kappa \omega +k} \right. \nonumber \\ &+& \left. \frac{e^{i\omega t}}{-m \omega^2-i \kappa \omega +k} \right) \end{eqnarray} となる。

最後に整理して綺麗な形に整える。 まずは分母を有理化し、その後、オイラーの公式を使って、\(\sin\)と\(\cos\)の形に整理する。 \begin{eqnarray} x(t)=\frac{F(k-m \Omega^2)}{(k-m \omega^2)^2+(\kappa \omega)^2} \cos \omega t \nonumber \\ +\frac{F \kappa \omega}{(k-m \omega^2)^2+(\kappa \omega)^2} \sin \omega t \end{eqnarray} ここで、上でやった時と同じように\( \omega _{0} :=\sqrt{\frac{k}{m}}, \gamma := \frac{\kappa}{2m}\)と置く。そうすると、 \begin{eqnarray} x(t)&=&\frac{\frac{F}{m}}{(\omega_{0}^2-\omega^2)^2-(2 \gamma \omega)^2} \nonumber \\ &×&[(\omega_{0}^2- \omega^2)\cos \omega t+(2 \gamma \omega)\sin \omega t] \end{eqnarray} あとは三角関数の合成により、 \begin{equation} x(t)=A \cos(\omega t - \delta) \tag{\ref{specialsolution}} \end{equation} となって、上で計算した特解と一致する結果が得られた。ただし、\(A\)や\(\delta\)は \begin{eqnarray} &A&=\frac{F/m}{\sqrt{(\omega _{0}^2-\omega^2)^2+(2\gamma \omega)^2}} \tag{\ref{A}} \\ &\tan& \delta=\frac{2\gamma \omega}{\omega _{0}^2-\omega^2} \tag{\ref{delta}} \end{eqnarray} で与えられる定数である。