万物の間にはお互いに引力が働く。二つの物体の位置を それぞれ\(\bs{r}\)と\(\bs{R}\)とすると、その間に働く力の向きと大きさは \begin{equation} \label{gravity} \bs{F}(\bs{r})=-G\frac{Mm}{r^2} \hat{\bs{r}} \end{equation} で表される。(ただし\(r=|\bs{r}-\bs{R}|\)であって \begin{equation} \hat{\bs{r}}=\frac{\bs{r}-\bs{R}}{|\bs{r}-\bs{R}|} \end{equation} である。) これを万有引力の法則と呼ぶ。
万有引力といえば大学力学の花形ですね。 ここではこの法則そのものが持つ 基本性質についてまとめました。
記号が多いですが、気持ち的には\(\bs{r}\)が地球の位置ベクトル、\(\bs{R}\)が太陽 の位置ベクトルのつもりです。あと、\(\hat{\bs{r}}\)は太陽から地球に向いた 単位ベクトルです。
ちなみに、省略せずにかくと(\ref{gravity})式は \begin{equation} \bs{F}(\bs{r})=-G\frac{Mm}{|\bs{r}-\bs{R}|^3}(\bs{r}-\bs{R}) \end{equation} となります。
万有引力のもとで運動方程式は \begin{equation} \label{EOM} m\frac{d^2 \bs{r}}{d^2 t}=-G\frac{Mm}{r^2} \hat{\bs{r}} \end{equation} 極座標でかくと \begin{eqnarray} \label{polereom1} &m& (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)=-G\frac{Mm}{r^2} \\ \label{polereom2} &m& \frac{1}{r} \frac{d}{d t}(r^2 \dot{\theta} )=0 \end{eqnarray} である。
万有引力の運動方程式は極座標でかくことが一般的です。 (極座標の運動方程式について詳しくはこちらから)
力が\(r\)方向のみのため、運動方程式の\(\theta\)成分が\(0\)になっています。
このような力を中心力と呼びます。
詳しくは→中心力の性質
ある一点から全方位に力が働く時、その力は距離の二乗に反比例する。 \begin{equation} F \propto \frac{1}{r^2} \end{equation} このことを逆二乗則と呼ぶ。
万有引力が持つ、特徴的な性質の一つが逆二乗則です。一般に、非接触力は距離を
離すと弱くなることは経験則から明らかですが、特にクーロン力と万有引力は
逆二乗で弱くなることが知られています。
詳しくは→逆二乗則
万有引力の下で運動する物体の位置ベクトル\(\bs{r}\)と速度ベクトル\(\bs{v}\) は、常にある一つの同一平面上にあり続ける。 つまり、運動は二次元的である。
これは万有引力を含む中心力が持つ普遍的な性質です。運動が二次元的であるとは 、軌道が楕円や双曲線のように平面図形でかけるということです。
これを証明するには、\(\bs{r}\)と\(\bs{v}\)を含む平面が一定であることを 言えばよく、普通はその平面に垂直な\(\bs{r} \times \bs{v}\)が時間に依らず 一定 \begin{equation} \frac{d}{dt} (\bs{r} \times \bs{v})=0 \end{equation} であることを示します。 証明は→中心力とその性質参照。
万有引力のもとでエネルギーと角運動量は保存する。つまり \begin{eqnarray} &E&=\frac{1}{2}m\bs{v}^2 - \frac{GMm}{r} \\ &\bs{L}&=\bs{r} \times \bs{p} \end{eqnarray} は常に一定。
当たり前ですが、万有引力のもとでもエネルギーと角運動量は保存します。
証明は→万有引力と保存則を参照してください。
万有引力の法則には力の伝搬速度に言及がない。 即ち、万有引力は無限の速度で無限遠方まで伝わる。
電磁気力の時には波動方程式から、電場や磁場は光速で伝わることが導出できましたが、 今回はそれができません。つまり、どれだけ離れていても理論上、万有引力は一瞬で伝わることになります。
これのどこがまずいのかというと、情報を光の速度を超えて伝えることができないという 現代物理の大原則に違反してしまう点です。この効果は近距離ではあまり効いてきませんが、 光速でも一瞬で伝わることのできない距離のスケールでは、有意に憂慮すべき事案です。
この問題を解決するには、一般相対性理論を勉強する必要があります。重力波もここらへんの話に絡んできます。