万有引力のもとでエネルギーと角運動量 は時間に依らず常に一定。
万有引力のもとで成り立つ保存則について簡単にまとめました。 万有引力のもつその他の性質については こちらから。
保存則の導出に使うのは、万有引力の運動方程式
\begin{equation}
\label{EOM}
m\frac{d^2 \bs{r}}{d^2 t}=-G\frac{Mm}{r^2} \hat{\bs{r}}
\end{equation}
とその極座標表現
\begin{eqnarray}
\label{polereom1}
&m& (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)=-G\frac{Mm}{r^2} \\
\label{polereom2}
&m& \frac{1}{r} \frac{d}{d t}(r^2 \dot{\theta} )=0
\end{eqnarray}
の三つです。
極座標の運動方程式について詳しくはこちらから
万有引力のもとで力学的エネルギーは保存する。即ち \begin{equation} \label{energy} E=\frac{1}{2}m\bs{v}^2 - \frac{GMm}{r} \end{equation} は常に一定。
方針としては、運動方程式を積分して\(E\)が保存することを示していきます。 そのために、運動方程式から\(\theta\)を消去して、\(r\)のみの微分方程式に帰着します。
(\ref{polereom2})式から、 \begin{equation} \frac{d}{d t}(r^2 \dot{\theta} )=0 \end{equation} なので、 \begin{equation} r^2 \dot{\theta}=h \end{equation} と置くと、\(h\)は時間に依存しない定数になる。
\(h\)を使って、(\ref{polereom1})式から\(\dot{\theta}\)を消去しよう。 計算すると \begin{equation} m(\ddot{r}-\frac{h^2}{r^3})=-\frac{GMm}{r^2} \end{equation} となって\(r\)だけに関する微分方程式に帰着できた。
あとは両辺を\(r\)積分する。左辺の積分について、 \begin{eqnarray} \int \ddot{r}dr&=&\int \ddot{r} \frac{dr}{dt} dt \nonumber \\ &=&\int \ddot{r} \dot{r} dt \end{eqnarray} であって、ここで \begin{equation} \ddot{r} \dot{r}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt} \dot{r}^2 \end{equation} であるからこの積分は \begin{eqnarray} \int \ddot{r}dr&=& \int \frac{1}{2}\frac{d \dot{r}^2}{dt} dt \nonumber \\ &=& \int \frac{1}{2} d \dot{r}^2 \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \dot{r}^2 \end{eqnarray} であることに注意すれば、 \begin{equation} \label{compare} \frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\frac{h^2}{r^2}) - \frac{GMm}{r}=C \end{equation} を得る。ただし、\(C\)は積分定数。
最後にこの定数\(C\)が\(E\)に一致することを確認しよう。今、 \begin{equation} \frac{d \bs{r}}{dt} = \dot{r} \bs{e}_{r} + r \dot{\theta} \bs{e}_{\theta} \end{equation} であるから、これを使って、エネルギーの表式(\ref{energy})は \begin{equation} E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+(r \dot{\theta})^2) - \frac{GMm}{r} \end{equation} とも書ける。この表式から\(h\)を使って\(\theta\)を消去すると、 \begin{equation} E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\frac{h^2}{r^2}) - \frac{GMm}{r} \end{equation} となり、これと(\ref{compare})を見比べて、 \begin{equation} E=C \end{equation} 即ち、\(E\)が定数であることが確認できた。
万有引力のもとで角運動量保存は保存する。即ち \begin{equation} \label{Angular momentum} \bs{L}=\bs{r} \times \bs{p} \end{equation} は常に一定。
万有引力中では角運動量も保存します。これが保存することにより、面積速度が保存 することもいえます。(詳しくは→ケプラーの第2法則)
方針としては、\(\bs{L}\)の時間微分が\(0\)であることを運動方程式から 導きます。途中何度か外積の性質を使うので、まだ慣れていない人は こちらを参照してください。
(\ref{EOM})式の右辺は\(\bs{r}\)に平行なので両辺\(\bs{r}\)について 外積をとると、 \begin{equation} \bs{r} \times \frac{d^2 \bs{r}}{dt^2}=0 \end{equation} が成り立つ。これを使うと、 \begin{eqnarray} \frac{d}{d t}(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v})&=&\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \times \boldsymbol{v} \nonumber \\ & \ &+\boldsymbol{r} \times \frac{d \boldsymbol{v}}{dt} \nonumber \\ &=&\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \times \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \nonumber \\ & \ &+\boldsymbol{r} \times \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} \nonumber \\ &=&0 \end{eqnarray} より、\(\bs{p}=m \bs{v}\)であることを踏まえると \begin{equation} \frac{d \bs{L}}{dt}=0 \end{equation} がいえた。