スカラー関数\(f(\bs{r})\)に\(\nabla\)をかけたもの、 \begin{equation} \label{gradcomponent} \nabla f(\bs{r})=\left (\begin{array}{c} \pdiff{f}{x}(\bs{r}) \\ \pdiff{f}{y}(\bs{r})\\ \pdiff{f}{z}(\bs{r}) \end{array} \right) \end{equation} を\(f(\bs{r})\)の勾配と呼ぶ。
力学や電磁気学でよく用いられる勾配について解説します。\(\nabla \times \nabla f =\bs{0}\) など、\(\nabla\)に関する公式についてはナブラの公式(基本編)も あわせてどうぞ
(\ref{gradcomponent})式はデカルト座標基底の成分表示であり、基底ベクトルを使うと \begin{equation} \label{Descartes} \nabla f(\bs{r}) = \pdiff{f}{x}(\bs{r}) \bs{e}_{x} +\pdiff{f}{y}(\bs{r}) \bs{e}_{y} + \pdiff{f}{z}(\bs{r}) \bs{e}_{z} \end{equation} とも書けます。(成分表示や基底表示についてはベクトルの基本事項参照。)
勾配のことを\(\mathrm{grad}\)を使って、\(\nabla f=\mathrm{grad} f\) とも表したりもしますが、両者は同じ意味です。
具体例を通して直感を養いましょう。
\(f(\bs{r})=x^2\)の場合、勾配は \begin{equation} \nabla f(\bs{r})=\left (\begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation} である。
後述するように、勾配は字のごとく\(f(\bs{r})\)の傾きを表します。 つまり、上式の右辺について、\(y\)、\(z\)成分が\(0\)であることから、\(x\)方向にのみ傾き があることを表しています
実際、今回の\(f(\bs{r})=x^2\)は\(y\)や\(z\)によらないため、\(yz\)平面に対し定数で、 \(x\)方向にのみ値が変化し、傾きを持っています。
\(f(\bs{r})=|\bs{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)の場合、 \begin{equation} \nabla f(\bs{r})=\left (\begin{array}{c} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \end{array} \right) \end{equation} となる。ちなみに右辺は動径方向の単位ベクトル \begin{equation} \hat{\bs{r}} := \frac{\bs{r}}{|\bs{r}|} \end{equation} に等しいので、 \begin{equation} \nabla r = \hat{\bs{r}} \end{equation} が成り立つ。
\(f(\bs{r})=|\bs{r}|\)は中心が最も低く、そこから離れると値が大きくなります。 同じ値は同心円になっていて、その傾きは動径方向生じています。これは実際に求めた勾配と 同じ方向であり、確かに\(\nabla f(\bs{r})\)が正しく傾きを表していることが見て取れます。
また、\(f(\bs{r})=|\bs{r}|\)のように\(f(\bs{r})\)が\(\bs{r}\)の大きさにしか 依存しない場合には以下の、便利な公式 \begin{equation} \nabla f(r) = \pdiff{f}{r}(\bs{r}) \hat{\bs{r}} \end{equation} (ただし、\(r= |\bs{r}|\))が使えます。証明については下のギモンを参照。
スカラー\(f(\bs{r})\)の勾配は、その向きが\(f(\bs{r})\)の最も傾きがきつい方向 を表す。また、その大きさはその方向への変化率を表す。
上の具体例でも少し触れましたが、スカラーの勾配は、\(f(\bs{r})\)の傾きのうち、 最もきつい(つまり最も変化率の大きい)方向を表します。
\(\Delta \bs{r}\)を微小な変化(\(\Delta\)はラプラシアンではないことに注意)として、 \begin{equation} \Delta f(r) = f(\bs{r}+\Delta \bs{r})-f(\bs{r}) \end{equation} を考える。(ただし、デカルト座標において、\(\bs{r}+\Delta \bs{r}=(x+\Delta x,y+\Delta y ,z + \Delta z)\) とする。 右辺の\(f(\bs{r}+\Delta \bs{r})\)を展開すると \begin{eqnarray} \Delta f(r) &=& \pdiff{f}{x}(\bs{r}) \Delta x + \pdiff{f}{y}(\bs{r}) \Delta y + \pdiff{f}{z}(\bs{r}) \Delta z \nonumber \\ &=& \nabla f(\bs{r}) \cdot \Delta \bs{r} \nonumber \end{eqnarray} となる。内積の性質より、左辺が最大になるのは\(\nabla f(\bs{r})\)と\(\Delta \bs{r}\)が平行 になる場合。逆に、\(\nabla f(\bs{r})\)に平行な方向こそが、最も変化\(\Delta f(r)\)がきつい方向である。
以上より、勾配の方向が、最大傾斜の方向に一致することが言えた。また、このとき 内積の性質より \begin{equation} \nabla f(\bs{r}) \cdot \Delta \bs{r} = |\nabla f(\bs{r})||\Delta \bs{r}| \end{equation} であって、 \begin{equation} |\nabla f(\bs{r})|= \frac{\Delta f(r)}{|\Delta \bs{r}|} \end{equation} より、勾配の大きさが最大傾斜の方向に関する変化率をあらわすことが言えた。
勾配は三次元の極座標(球面座標)において、以下で表される。
\begin{equation}
\label{3polor}
\nabla f(\bs{r}) = \pdiff{f}{r}(\bs{r}) \bs{e}_{r} +\frac{1}{r}\pdiff{f}{\theta}(\bs{r}) \bs{e}_{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta}\pdiff{f}{\phi}(\bs{r}) \bs{e}_{\phi}
\end{equation}
(ただし、\(\bs{e}_{r},\bs{e}_{\theta},\bs{e}_{\phi}\)は極座標の基底ベクトル)
勾配の極座標表示です。(\ref{Descartes})式を愚直に座標変換すれば導出できますが、 かなり面倒なので公式として覚えてしまった方が楽です。ただし、勉強にはなるので時間のあるときに 一度導出してみるとよいでしょう。
(\ref{3polor})式の特別な場合として次のようなものがあります。
(\ref{3polor})式について、\(f(\bs{r})\)が\(r=|\bs{r}|\)にのみ依存し、角度によらないときは \begin{equation} \label{rgrad} \nabla f(r) = \pdiff{f}{r}(r) \bs{e}_{r} \end{equation} と簡単に書ける。(\(\bs{e}_{r}\)は\(\hat{\bs{r}}\)と表記することもある)
これは(\ref{3polor})式において \(\pdiff{f}{\theta} = \pdiff{f}{\phi} =0\)の場合に相当します。 これを使うと例えば \(f(r) = \frac{1}{|\bs{r}|}\)について \begin{eqnarray} \nabla \frac{1}{|\bs{r}|} &=& -\frac{1}{|\bs{r}|^2} \hat{\bs{r}} \nonumber \\ &=& -\frac{\bs{r}}{|\bs{r}|^3} \end{eqnarray} が成り立つことが言えます。また、微分は定数ベクトルだけずらしても不変なので、これの応用として \begin{equation} \nabla \frac{1}{|\bs{r}-\bs{r}'|}=-\frac{\bs{r}-\bs{r}'}{|\bs{r}-\bs{r}'|^3} \end{equation} が言えます。この式は電磁気などで使います。
ここでは(\ref{Descartes})式の特別な場合の(ただし役に立つ)公式(\ref{rgrad})を導出します。
成分表示(\ref{gradcomponent})式において\(f(\bs{r})=f(r)\)の時を考える。 \begin{equation} \nabla f(r)=\left (\begin{array}{c} \pdiff{f}{x}(r) \\ \pdiff{f}{y}(r)\\ \pdiff{f}{z}(r) \end{array} \right) \end{equation} について各成分合成関数の微分を使って極座標へ変換する。
まず、\(x\)成分について\(r = \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}\)より、 \begin{eqnarray} \pdiff{f}{x}(r) &=& \pdiff{r}{x} \pdiff{f}{r} \nonumber \\ &=& \pdiff{f}{r} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} \nonumber \\ &=& \pdiff{f}{r} \frac{x}{r} \end{eqnarray} 他の成分も同様に計算する。共通因子\(\pdiff{f}{r}\)でくくると \begin{equation} \nabla f(r)=\pdiff{f}{r} \left (\begin{array}{c} \frac{x}{r}\\ \frac{y}{r}\\ \frac{z}{r} \end{array} \right) \end{equation} ここで、 \begin{eqnarray} \left (\begin{array}{c} \frac{x}{r}\\ \frac{y}{r}\\ \frac{z}{r} \end{array} \right) &=& \frac{\bs{r}}{r} \nonumber \\ &=& \hat{\bs{r}} \end{eqnarray} より、 \begin{equation} \nabla f(r) = \pdiff{f}{r}(r) \hat{\bs{r}} \end{equation} が言えた。
勾配の線積分は経路に依存しない。 その値は始点、終点の座標をそれぞれ\(\bs{r}_{i},\bs{r}_{f}\)と置いたとき、 以下で与えられる。 \begin{eqnarray} & & \int_{\bs{r}_{i}}^{\bs{r}_{f}} \nabla f(\bs{r}) \cdot d \bs{r} \nonumber \\ &=& f(\bs{r}_{a})-f(\bs{r}_{b}) \end{eqnarray}
スカラーの勾配の線積分は電圧などを求める時に使います。勾配の回転は\(0\) \begin{equation} \nabla \times \nabla f =\bs{0} \end{equation} なので、(証明はこちらから)線積分の性質より積分が経路に依存しません。(保存力の仕事が経路に依存しない ことと同様)
経路に依存しないので、勝手に経路を変更して積分を実行しても始点と終点さえ 合っていれば問題はありません。このためこの手の積分をする際は、楽な経路を設定して計算するのが定石です。
方針として、経路を\(\bs{r}_{i}\)から出発し、 まず\(x\)軸に平行に走り、次に\(y\)軸に平行に走り、そして最後に\(z\)軸に平行に走って \(\bs{r}_{f}\)に至るように設定します。座標軸に平行な経路なので、媒介変数を使わずに線積分を実行できます。 (今回の線積分の実行方法について詳しくは→ベクトルの線積分)
線積分は次のように分解できる。 \begin{eqnarray} & & \int_{\bs{r}_{i}}^{\bs{r}_{b}} \nabla f(\bs{r})) \cdot d \bs{r} \nonumber \\ &=& -\int_{x_{i}}^{x_{f}}\pdiff{f}{x}(x',y_{i},z_{i}) dx' \nonumber \\ & \ & -\int_{y_{i}}^{y_{f}} \pdiff{f}{y}(x_{f},y',z_{i}) dy \nonumber \\ & \ & -\int_{z_{i}}^{z_{f}} \pdiff{f}{z}(x_{f},y_{f},z') dz' \end{eqnarray} ただし、\(x_{i},y_{i},z_{i}\)は\(\bs{r}_{i}\)の\(x,y,z\)成分で、 \(x_{f},y_{f},z_{f}\)は\(\bs{r}_{f}\)の\(x,y,z\)成分を表す。また、積分変数については強調するために 例えば\(x'\)のようにしてプライムをつけた。
あとはこの積分をそれぞれ計算すればよい。項が六つでてくるが、ほとんどがキャンセルされる。 実際にやってみると \begin{eqnarray} & & \int_{\bs{r}_{i}}^{\bs{r}_{f}} \nabla f(\bs{r}) \cdot d \bs{r} \nonumber \\ &=& -f(x_{f},y_{i},z_{i})+f(x_{i},y_{i},z_{i}) \nonumber \\ & \ & -f(x_{f},y_{f},z_{i})+f(x_{f},y_{i},z_{i}) \nonumber \\ & \ & -f(x_{f},y_{f},z_{f})+f(x_{f},y_{f},z_{i}) \nonumber \\ &=& f(x_{i},y_{i},z_{i})-f(x_{f},y_{f},z_{f}) \nonumber \\ &=& f(\bs{r}_{i})-f(\bs{r}_{f}) \end{eqnarray} を得る。