無限に深い井戸型ポテンシャル

導出

方針としては、井戸の外と中を両方同時に扱うのは難しいので、外と中で問題を 分割して考えます。その後、それぞれで得られた解をつなげて答えを得ます。

まず、井戸の外はポテンシャルが無限大なので、粒子の存在確率は\(0\)である。 つまり、井戸の外の解\(\phi_{out}(x)\)は \begin{eqnarray} \label{outsol} \phi_{out}(x) = 0 \hspace{10pt} (x \leq -a, a \leq x) \end{eqnarray} とわかる。つづいて井戸の中について考える。井戸の中ではポテンシャルは\(0\)なので シュレーディンガー方程式は \begin{equation} \label{innerwell} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2} \right) \phi (x)=E \phi (x) \hspace{10pt} (-a < x < a) \end{equation} で表せる。今、 \begin{equation} \label{energy} E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \end{equation} になるように変数\(k\)を定義する。すなわち \(k:=\sqrt{2mE}/\hbar\)である。すると、(\ref{innerwell})式は \begin{equation} \label{oscillator} \frac{d^2}{d x^2} \phi (x)=-k^2 \phi (x) \hspace{10pt} (-a < x < a) \end{equation} の形に帰着でき、これは単振動の微分方程式になっている。 ゆえに、井戸の中の一般解\(\phi_{in}(x)\)は \begin{equation} \label{insol} \phi_{in}(x) = A \sin kx + B \cos kx \hspace{10pt} (-a < x < a) \end{equation} (\(A,B\)は定数)で与えられる。ただし、物理的な解を求めるには、境界条件などを課して \(A,B\)を消去する必要がある。これについては下で述べる。

ポイント：単振動の微分方程式の一般解は上のように\(\sin kx,\cos kx\)を使って書く表式と \(e^{ikx},e^{-ikx}\)を使う表式の二種類の流儀がありますが、今回の場合、\(\sin, \cos\)で 書いたほうが、後々計算が楽になります。後者の場合の計算は、後ろのほうに載せてあります。

さて、井戸の中と外の解が得られたので、最後に二つの解をつなげる必要がある。 そのためには、井戸の境界で\(\phi_{in}(x)\)と\(\phi_{out}(x)\)が一致すればよい。(境界条件)

\begin{eqnarray} \begin{cases} \phi_{in}(a) = \phi_{out}(a) \\ \phi_{in}(-a) = \phi_{out}(-a) \end{cases} \end{eqnarray}

(\ref{outsol})式、(\ref{insol})式よりこれらの境界条件は、 \begin{eqnarray} \begin{cases} A \sin ka + B \cos ka = 0 \\ A \sin k (-a) + B \cos k(-a) =0 \end{cases} \end{eqnarray} のような連立方程式で表せる。物理的な解を求めるため、これらの方程式を用いて\(A,B\)のいずれかを消去 することを考える。 今、\(\cos k (-a)=\cos k a , \sin k (-a) = -\sin k a\)だから、 この連立方程式の両辺を引くと、\(B\)が消去でき、両辺を足すと\(A\)が消去できる。 このようにして、 \begin{eqnarray} \label{bound} \begin{cases} A \sin ka = 0 \\ B \cos k a =0 \end{cases} \end{eqnarray} を得る。

ここで、上記の二式の解として、自明なものに\(A=0,B=0\)がある。 しかし、この場合は井戸の中の波動関数が\(0\)なので、井戸の外の解と併せて、すべての領域で \begin{equation} \phi(x)=0 \end{equation} を意味する。これは、粒子がそもそも存在しないことを表し、自明な解と呼ぶ。
普通、粒子が存在しない場合には興味がないので、自明な解以外の解を考える。 すると、(\ref{bound})式を満たす解として、 \begin{eqnarray} \begin{cases} A = 0 \\ k = \frac{n \pi}{2a} \hspace{10pt} (n = \pm 1,\pm 3,\pm 5...) \end{cases} \end{eqnarray} というパターンか、あるいは \begin{eqnarray} \begin{cases} k = \frac{n \pi}{2a} \hspace{10pt} (n = 0,\pm 2,\pm 4,\pm 6...) \\ B =0 \end{cases} \end{eqnarray} のパターンのいずれかしかないことに気づく。 これは、数学的には単に(\ref{bound})式の連立方程式により 未知変数\(A,B,k\)のうち、二つを消去できたことを意味する。

いずれのパターンにおいても、\(k\)が \(\frac{\pi}{2a}\)の整数倍の時にしか、解が存在しない。これは、無限に深い井戸型ポテンシャル の問題の特徴の一つである。\(k\)と\(E\)には関係式 \begin{equation} E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{\ref{energy}} \end{equation} が成り立つのだったから、\(k\)の条件はそのまま\(E\)の条件 に相当する。(物理的な意味について詳しくは下のセクションを見よ) すなわち、以下のように\(E\)として不連続な値のみが許される。 \begin{eqnarray} E = \frac{\hbar^2 }{2m}\left( \frac{\pi n}{2a} \right)^2 \hspace{10pt} ( n = 1,2,3,4,,, ) \tag{\ref{nenergy}} \end{eqnarray}

以上より、今回の問題の解には二つのパターンがあり、いずれも井戸の外\((x \leq -a, a \leq x)\)では \begin{eqnarray} \phi_{out}(x) = 0 \tag{\ref{outsol}} \end{eqnarray} のように存在確率は\(0\)だが、井戸の中\((-a \leq x \leq a)\)ではそれぞれ \begin{eqnarray} \label{sol} \phi_{in}(x) = \begin{cases} A_{n} \sin \left(\frac{n \pi}{2a} x \right) &(n = 2,4,6...)\\ B_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{2a} x \right) &(n = 1,3,5...) \end{cases} \end{eqnarray} であると分かった。(ただし、\(A_{n},B_{n}\)は定数で、\(n\)に依存するかもしれないので 添え字の\(n\)をつけた。)
ここに、\(n=0\)のパターンについては、\(\sin 0 =0\)なので \begin{eqnarray} \phi_{in}(x) = A_{0} \sin 0 = 0 \end{eqnarray} となり、自明な解に対応するためここでは考えない。 また、\(n<0\)のパターンについては、 \begin{eqnarray} &&A_{-n} \sin \left(\frac{-n \pi}{2a} x \right) = (-A_{-n}) \sin \left(\frac{n \pi}{2a} x \right) \\ &&B_{-n} \cos \left(\frac{-n \pi}{2a} x \right) = B_{-n} \cos \left(\frac{n \pi}{2a} x \right) \end{eqnarray} より、\(A_{n}' = -A_{-n}, B_{n}'=B_{-n}\)と置くと、\(n>0\)のパターンに含むことができるため、 上の(\ref{sol})式では無視した。

それぞれのパターンにおいて、最後に残った定数は規格化条件 \begin{eqnarray} \label{normal} \int^{\infty}_{-\infty} |\phi (x)|^2 dx = 1 \end{eqnarray} を用いて消去することができる。今、井戸の外では\(\phi(x)=0 \hspace{10pt} (x \leq -a, a \leq x) \) だったので、上記の積分は、 \begin{eqnarray} \int^{a}_{-a} |\phi_{in} (x)|^2 dx = 1 \end{eqnarray} のように、積分範囲を井戸の中だけに限定してよい。あとは、それぞれの パターンにおいて、代入して計算すればよい。 \begin{eqnarray} |A_{n}|^2 \int^{\infty}_{-\infty} |\cos \left(\frac{n \pi}{2a} x \right)|^2 dx = 1 \ &(n = 2,4,6...)\\ |B_{n}|^2 \int^{\infty}_{-\infty} |\sin \left(\frac{n \pi}{2a} x \right)|^2 dx = 1 \ &(n = 1,3,5...) \end{eqnarray} これらの積分は\(n\)によらずに同じ結果 \begin{eqnarray} |A_{n}|^2 = \frac{1}{a} \\ |B_{n}|^2 = \frac{1}{a} \end{eqnarray} を与える。以上よりこの問題の解が、井戸の中\((-a \leq x \leq a)\)において \begin{eqnarray} \phi_{n}(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{a}} \sin \left(\frac{n \pi}{2a} x \right) &(n = 2,4,6...)\\ \sqrt{\frac{1}{a}} \cos \left(\frac{n \pi}{2a} x \right) &(n = 1,3,5...) \end{cases} \tag{\ref{innersol}} \end{eqnarray} であって 井戸の外\((x \leq -a, a \leq x)\)では \begin{eqnarray} \phi_{n}(x) = 0 \ \hspace{10pt} ( \mathrm{for \ all} \ n )\tag{\ref{outersol}} \end{eqnarray} となっていることが確認できた。

それぞれの状態は上で述べたように、番号\(n\)に対応したエネルギー \begin{eqnarray} E = \frac{\hbar^2 }{2m}\left( \frac{\pi n}{2a} \right)^2 \hspace{10pt} ( n = 1,2,3,4,,, ) \tag{\ref{nenergy}} \end{eqnarray} を持つ。

導出(別解)

以下、 \begin{equation} \label{altmethod} \phi_{in}(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \hspace{10pt} (-a < x < a) \end{equation} の一般解を使って同じ結果を得ることを確認します。

境界条件 \begin{eqnarray} \begin{cases} \phi_{in}(a) = \phi_{out}(a) \\ \phi_{in}(-a) = \phi_{out}(-a) \end{cases} \end{eqnarray} は、今回の場合 \begin{eqnarray} \begin{cases} A e^{ika} + B e^{-ika} = 0 \\ A e^{-ika} + B e^{ika} = 0 \end{cases} \end{eqnarray} と書き下せる。行列を用いてこの連立方程式を書き換えよう。 \begin{equation} \begin{pmatrix} e^{ika} & e^{-ika} \\ e^{ika}& e^{ika} \end{pmatrix} \left (\begin{array}{c} A \\ B \end{array} \right) = \left (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation} さて、今回興味があるのは\(A=B=0\)以外の解であった。なぜなら、 \(A=B=0\)は、上で述べたように、 \begin{equation} \phi(x)=0 \end{equation} を意味し、粒子が存在しない状況を表す自明な解であるからである。

すると、連立方程式が(\(A=B=0\)以外の)解を持つ条件から \begin{equation} \det \begin{pmatrix} e^{ika} & e^{-ika} \\ e^{-ika} & e^{ika} \end{pmatrix} =0 \end{equation} を得る。これを解けば \begin{equation} \label{detsol} e^{2ika} = e^{-2ika} \end{equation} が分かる。以下、\(k=0\)と\(k \neq 0\)で状況が異なるため、それぞれで場合わけする必要がある。

(ii)\(k=0\)の場合

明らかに、\(k=0\)は(\ref{detsol})式を満たす。しかし、結論から言うと この場合の解は自明な解に相当する。

まず、\(\phi_{in}(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}\)に\(k=0\)を代入しよう。すると、 \begin{equation} \phi_{in} = A+B \end{equation} となる。これは、井戸の中の波動関数が定数であることを表す。さらに、境界条件 \begin{eqnarray} \begin{cases} \phi_{in}(a) = \phi_{out}(a) \\ \phi_{in}(-a) = \phi_{out}(-a) \end{cases} \end{eqnarray} を再び用いると、井戸外では波動関数が\(0\)だったから、 \begin{equation} \phi_{in} = A+B = 0 \end{equation} である。これは井戸の中でも外でも波動関数が\(0\)になる状況を表し、 冒頭でも述べた結論通り、(興味のない)自明な解である。

(i)\(k\neq0\)の場合

条件式 \begin{equation} e^{2ika} = e^{-2ika} \tag{\ref{detsol}} \end{equation} は変形すると、 \begin{equation} \sin 2ka = 0 \end{equation} に帰着される。これは、\(k \neq 0\)に対し、 \begin{eqnarray} k = \frac{n \pi}{2a} \hspace{10pt} (n = \pm 1,\pm 2,\pm 3...) \\ \end{eqnarray} の制限を与える。 以下、 \(n =偶数\)と\(n=奇数\)で状況が異なるため、再び場合わけする必要がある。 また、\(n\)依存性をあらわにするために、\(k=k_{n}\)と表記する。

(a)\(n=偶数\)の場合

\(x=k_{n}a\)の時のオイラーの等式 \begin{eqnarray} &&e^{ik_{n}a}=\cos k_{n}a + i\sin k_{n}a \\ &&e^{-ik_{n}a} = \cos k_{n}a - i\sin k_{n}a \end{eqnarray} は\(n=偶数\)の場合、 \begin{eqnarray} &&e^{ik_{n}a}=\cos k_{n}a \\ &&e^{-ik_{n}a} = \cos k_{n}a \end{eqnarray} となるから、境界条件の式 \begin{eqnarray} \begin{cases} A e^{ika} + B e^{-ika} = 0 \\ A e^{-ika} + B e^{ika} = 0 \end{cases} \end{eqnarray} も、以下の形に帰着される。 \begin{eqnarray} \begin{cases} (A+B) \cos k_{n}a = 0 \\ (A+B) \cos k_{n}a = 0 \end{cases} \end{eqnarray} \(\cos k_{n}a \neq 0\)なので、この等式は\(A+B=0\)でなければ成り立たない。ゆえに \(A=-B\)を最初に置いた(\ref{altmethod})式に代入することで、\(n=偶数\)の場合、波動関数は \begin{equation} \phi_{in}(x) = \tilde{A} \sin k_{n} x \hspace{10pt} (-a < x < a) \end{equation} で与られることがわかる。ただし、\(\tilde{A} = (A-B)/2i\)と置いた。

(b)\(n=奇数\)の場合

\(n=偶数\)の場合と全く同様に、等式 \begin{eqnarray} &&e^{ik_{n}a}=i \sin k_{n}a \\ &&e^{-ik_{n}a} = - i\sin k_{n}a \end{eqnarray} が成り立つから、境界条件の式は \begin{eqnarray} \begin{cases} (A-B) \sin k_{n}a = 0 \\ (A-B) \sin k_{n}a = 0 \end{cases} \end{eqnarray} に帰着される。\(\sin k_{n}a \neq 0\)なので、この等式は\(A-B=0\)でなければ成り立たない。 ゆえに(\ref{altmethod})式に\(A=B\)を代入することで、 \(n=奇数\)の場合、波動関数は \begin{equation} \phi_{in}(x) = \tilde{B} \cos k_{n} x \hspace{10pt} (-a < x < a) \end{equation} で与られることがわかった。ただし、\(\tilde{B} = (A+B)/2\)と置いた。

後は規格化をすれば完了だが、その計算は上の解法と同様であるため割愛する。