電場と磁場について(特に電場と磁場が時間で変化する場合)、両者と電流密度\(\bs{j}\)の間に
\begin{equation}
\label{diffform}
\nabla \times \bs{B}(\bs{r},t)= \mu_{0} \bs{j}(\bs{r},t)+\varep _{0}\mu_{0} \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t)
\end{equation}
が成り立つ。
これを微分型(微分形)のアンペール・マクスウェルの法則と呼ぶ。
(ただし\(\varep_{0},\mu_{0}\)はそれぞれ真空の誘電率、透磁率)
マクスウェル方程式を構成する4つの式の一つがアンペール・マクスウェルの法則 です。この法則について、簡単にまとめました。
アンペール・マクスウェルの法則(\ref{diffform})式はアンペールの法則の拡張であって、 その意味は、電流に限らず電場の変化によっても磁場が生まれることを表す。
アンペールの法則とは静磁場(時間に依らない磁場)と定常電流密度の間に \begin{equation} \label{Anpere} \nabla \times \bs{B}(\bs{r})= \mu_{0} \bs{j}(\bs{r}) \end{equation} が成り立つという法則です。(これについて詳しくは→アンペールの法則)
アンペールの法則の意味は、電流が磁場を生み出すということでしたが、 アンペール・マクスウェルの法則では、電流がない場合(\(\bs{j}(\bs{r},t)=0\))でも \begin{equation} \nabla \times \bs{B}(\bs{r},t)= \varep _{0}\mu_{0} \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t) \end{equation} なので、電場が時間変化するだけで磁場が生じることを述べています。 これは、磁場の変化が電場を生み出すというファラデーの電磁誘導の法則と 対応していますね。このような、電場が磁場を生み出し、磁場が電場を生み出すという構造はここから先大事な話につながっていく のでおさえておきましょう。
また、アンペール・マクスウェルの法則((\ref{diffform})式)において、電場と磁場が時間に依らない場合、 つまり\(\pdiff{\bs{E}}{t}=\pdiff{\bs{B}}{t}=0\)で、 \(\bs{E}=\bs{E}(\bs{r})、\bs{B}=\bs{B}(\bs{r})\)である場合を考えると、 (\ref{Anpere})式に一致することから、確かにアンペールの法則を拡張したものであることが確かめられます。
アンペール・マクスウェルの法則の導出は直接は難しいため、 アンペールの法則を物理的に矛盾しないよう拡張することで導きたいと思います。
一番簡単な拡張方法として、単に\(\bs{B}(\bs{r})\)を\(\bs{B}(\bs{r},t)\)に、 \(\bs{j}(\bs{r})\)を\(\bs{j}(\bs{r},t)\)に置き換えるという方法が考えられます。 (ガウスの法則などはこの方法で拡張されたのでした。)
しかし、アンペールの法則の場合、この方法では矛盾が生じてしまいます。
アンペールの法則を \begin{equation} \label{Anpere2} \nabla \times \bs{B}(\bs{r},t)= \mu_{0} \bs{j}(\bs{r},t) \end{equation} のように拡張すると、電荷保存則と矛盾。
電荷保存則を表す式は
\begin{equation}
\label{conservation}
\pdiff{\rho}{t}(\bs{r},t)+ \nabla \cdot \bs{j}(\bs{r},t)=0
\end{equation}
です。(\ref{Anpere2})式の両辺の発散を取ると、(\ref{conservation})式と矛盾
するものが得られます。
電荷保存則について詳しくは→電荷保存則参照
(\ref{Anpere2})式について、両辺の発散を取る。、 左辺はナブラの公式を使えば \begin{equation} \nabla \cdot (\nabla \times \bs{B}(\bs{r}))=0 \end{equation} となる。(この公式についてはナブラの公式(基本編)を参照してください。)
右辺と合わせると、 \begin{equation} \nabla \cdot \bs{j}(\bs{r},t)=0 \end{equation} となるが、これは\(\pdiff{\rho}{t}(\bs{r},t)=0\) でない場合、一般に、(\ref{conservation})式と矛盾する。
二つの式が矛盾している場合、どちらかが間違えていると考えるのが自然ですが、 電荷保存則は自然界で満たされているはずなので、(\ref{Anpere2})式が間違えていたと考える 方が普通です。
そこで、(\ref{conservation})式と矛盾しないように(\ref{Anpere})式 が拡張できるか考えてみましょう。結論から言うと、 一般に、次の形に拡張すれば矛盾が生まれないことが分かります。
アンペールの法則を \begin{equation} \label{Anpere3} \nabla \times \bs{B}(\bs{r},t)= \mu_{0} \bs{j}(\bs{r},t)+\varep _{0}\mu_{0} \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t) +\bs{C}'(\bs{r},t) \end{equation} のように拡張すると、電荷保存則と矛盾せず上手くいく。ただし、\(\bs{C}'(\bs{r},t)\) は発散が\(0\)を満たす任意のベクトル場。
方針としては、一般の拡張の形を考え、その式の発散を取った後、電荷保存則を代入し、 矛盾しないように辻褄を合わせます。
まず、(\ref{Anpere})式の拡張は一般に \begin{equation} \nabla \times \bs{B}(\bs{r},t)= \mu_{0} \bs{j}(\bs{r},t)+\bs{C}(\bs{r},t) \end{equation} のように書ける。(ただし、\(\bs{C}(\bs{r},t)\)は任意のベクトル場)
左辺の発散を取ると\(0\)になるので、右辺についてもそうなればよい。 途中、電荷保存則とガウスの法則を使うと、 \begin{eqnarray} & \ & \mu_{0} \nabla \cdot \bs{j}(\bs{r},t)+ \nabla \cdot \bs{C}(\bs{r},t) \nonumber \\ &=& - \mu_{0} \pdiff{\rho}{t}(\bs{r},t) + \nabla \cdot \bs{C}(\bs{r},t) \nonumber \\ &=& -\varep _{0}\mu_{0} \nabla \cdot \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t) + \nabla \cdot \bs{C}(\bs{r},t) \nonumber \\ &=& \nabla \cdot \left( -\varep _{0}\mu_{0} \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t)+\bs{C}(\bs{r},t) \right) \end{eqnarray} となる。以上より、 \begin{equation} \bs{C}(\bs{r},t)= \varep _{0}\mu_{0} \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t) +\bs{C}'(\bs{r},t) \end{equation} とすれば、右辺も\(0\)になるので矛盾はない。 ただし、\(\bs{C}'(\bs{r},t)\) を発散が\(0\)を満たす任意のベクトル場とおいた。
このようにして、電荷保存則と矛盾しない拡張の一般形が得られたわけですが、 \(\bs{C}'(\bs{r},t)=0\)でとっても問題がないことが知られています。以上から、マクスウェル・アンペールの法則 \begin{equation} \nabla \cdot \bs{B}(\bs{r},t)= \mu_{0} \bs{j}(\bs{r},t)+\varep _{0}\mu_{0} \pdiff{\bs{E}}{t}(\bs{r},t) \tag{\ref{diffform}} \end{equation} が導入できたわけです。
静磁場\(\bs{B}(\bs{r})\)と電流\(I\)の間には
\begin{equation}
\label{intform}
\oint_{C} \bs{B}(\bs{r}) \cdot d \bs{r} = \mu_{0} I + \varep _{0}\mu_{0} \int_{S} \pdiff{\bs{E}}{t} \cdot \bs{n}(\bs{r}) dS
\end{equation}
が成り立つ。これを積分型(積分形)のアンペールの法則と呼ぶ。
(ただし\(\varep_{0},\mu_{0}\)はそれぞれ真空の誘電率、透磁率)
今後あまり出番はありませんが、他のマクスウェル方程式と同様に、 アンペール・マクスウェルの法則にも積分形も存在します。 微分型とは見た目は違いますが、両者は同じ意味です。 微分形の意義や必要性に ついてはこちらの記事を参照。