静電場(時間で変化しない電場)について以下の関係式が成り立つ。 \begin{eqnarray} \label{static} \nabla \times \bs{E}(\bs{r})=0 \end{eqnarray} これを微分型(微分形)の渦なしの法則と呼ぶ。
静電場ではガウスの法則以外にこの渦なしの法則が成り立ちます。 (ベクトルの回転\(\nabla \times \bs{E}(\bs{r})\)は渦とも呼ばれます。詳しくは→ベクトルの回転) 静電場の定義や他の性質については静電場の諸性質を参照してください。 渦なしの法則について簡単にまとめました。
静電場(時間で変化しない電場)について以下の関係式 \begin{eqnarray} \label{intstatic} \oint_{C} \bs{E}(\bs{r}) \cdot d \bs{l}&=&0 \end{eqnarray} が成り立つ。これを積分型(積分形)の渦なしの法則と呼ぶ。
冒頭で紹介したのは微分形でしたが、渦なしの法則には積分形もあります。 見た目は違いますが、両者は同じ意味です。(導出など詳しくは下のギモン参照。)
基本的に計算ではこちらの積分形を使います。微分形の意義や必要性に ついてはこちらの記事を参照。
静電場の渦なしの法則 (\ref{static})式は静電力が保存力であることを表す。
微分形だと意味がつかみづらいかもしれませんが、積分形で考えるといくぶんわかりやすくなります。
\begin{eqnarray} \oint_{C} \bs{E}(\bs{r}) \cdot d \bs{l}&=&0 \tag{\ref{intstatic}} \end{eqnarray}上記の積分形(\ref{intstatic})式は保存力の性質 \begin{equation} \oint_{C} \bs{F}(\bs{r}) \cdot d \bs{l}=0 \end{equation} と同じ形になっています。(保存力について詳しくは→保存力) 実際、静電力は\(\bs{F}=q\bs{E}\)だったので (\ref{intstatic})式に電荷\(q\)を掛ければ、そのままの上の式に帰着されます。
ガウスの法則の導出はガウスの法則の記事を参照してください。 ここでは静電力が保存力である事実から出発して、(\ref{static})式の導入を簡単に行います。
電場は静電ポテンシャルを用いて \begin{equation} \label{potential} \bs{E}(\bs{r})=-\nabla \phi(\bs{r}) \end{equation} と書ける。(これについてはこちらを参照。) 両辺回転を取ると速やかに \begin{equation} \nabla \times \bs{E}(\bs{r})=0 \tag{\ref{static}} \end{equation} を得る。(ただし、勾配の回転が0の公式を使った。詳しくは→ナブラの公式(基本編))
さらにここにストークスの定理 \begin{equation} \int_{S} \nabla \times \bs{E} (\bs{r}) \cdot \bs{n}(\bs{r})\mathrm dS = \oint_{C} \bs{E}(\bs{r}) \cdot d \bs{l} \end{equation} を使うことで(\ref{static})式の両辺を面積分すると \begin{eqnarray} \oint_{C} \bs{E}(\bs{r}) \cdot d \bs{l}&=&0 \tag{\ref{intstatic}} \end{eqnarray} を得る。
ちなみに、この記事でも述べているように静電ポテンシャルの存在(\ref{potential})と 渦なしの法則(\ref{static})式は実は同値なので、逆に渦なしの法則から出発して静電ポテンシャルの存在も言えます。 なので、静電ポテンシャルを用いる場合、暗に(\ref{static})式を使っていることになります。
電場と磁場について(特に電場と磁場が時間で変化する場合)、両者の間に \begin{equation} \label{diffform} \nabla \times \bs{E}(\bs{r},t)= - \pdiff{\bs{B}}{t}(\bs{r},t) \end{equation} が成り立つ。これを 微分型(微分形)のファラデーの電磁誘導の法則と呼ぶ。
静電場ではなく、電場が時間変化する場合、その回転はファラデーの電磁誘導の法則で 与えられます。この法則について詳しくはこちらから。